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第八章 第3节
一、选择题
1．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
解析：，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
答案：C
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2.
又e＝＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.
答案：A
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C.－1 D.－1
解析：依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，
所以有＋＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，
又由于b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，
即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，从而e＝－1.
答案：D
4．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：方法一：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3 ①
又由于点M在椭圆上，故＋y2＝1，
即y2＝1－ ②
将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故点M到y轴的距离为.
方法二：由题可知b2＝1，θ＝，c＝，代入焦点三角形的面积公式S＝b2tan ＝c|yP|可得，|yP|＝，代入椭圆方程得|xP|＝.
答案：B
5．(2021·昆明一中检测)已知直线x＝t与椭圆＋＝1交于P，Q两点．若点F为该椭圆的左焦点，则使·取得最小值时，t的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：易知椭圆的左焦点F(－4,0)．依据对称性可设P(t，y0)，Q(t，－y0)，则＝(t＋4，y0)，
＝(t＋4，－y0)，所以·＝(t＋4，y0)·(t＋4，－y0)＝(t＋4)2－y.又由于y＝9＝9－t2，所以·＝(t＋4)2－y＝t2＋8t＋16－9＋t2＝t2＋8t＋7，所以当t＝－时，·取得最小值．故选B.
答案：B
6．在椭圆＋＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由①－②，得
＋＝0，
因所以＝－＝－，
所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋4y－5＝0.
答案：A
二、填空题
7．(2021·嘉兴模拟)已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是________．
解析：依题意：F1(0，－3)，F2(0,3)．又由于3<4，所以∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°，
设P(x,3)，代入椭圆方程得：x＝±，
即点P到y轴的距离为.
答案：
8．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2所作的两条相互垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆内部，所以有c2<b2，
又b2＝a2－c2，所以有c2<a2－c2，
即2c2<a2，亦即：<，所以0<<.
答案：
9．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，
则A(a,0)，B(0，b)，C，F(，0)．
依题意，得 ＝，FM的直线方程是x＝，所以M.
由于O，C，M三点共线，所以＝，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.
所求方程是＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
10．(2021·莆田模拟)点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由题意可知点A(－6,0)，F(4,0)
设点P的坐标为(x，y)，则
＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，且y＞0，
由已知得
即2x2＋9x－18＝0，
解得 或(舍)
∴点P的坐标为.
(2)直线AP的方程为x－y＋6＝0，设点M的坐标为(m,0)，由题意可知＝＝|m－6|.
又－6≤m≤6，∴m＝2，
∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝2＋15.
∴当x＝时，d取得最小值.
11．(2021·兰州模拟)已知椭圆方程为＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．
(1)求m的取值范围；
(2)求△MPQ面积的最大值．
解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋1，
由可得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，
x1x2＝－.
可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为
，
由题意有kMN·k＝－1，可得·k＝－1，可得m＝，又k≠0，所以0<m<.
(2)设椭圆的焦点为F，
则S△MPQ＝·|FM|·|x1－x2|＝ ，
所以△MPQ的面积为.
设f(m)＝m(1－m)3，则f′(m)＝(1－m)2(1－4m)．
可知f(m)在区间上递增，在区间上递减．
所以，当m＝时，f(m)有最大值f＝.
即当m＝时，△MPQ的面积有最大值.
12．(2021·黄山模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，
由于|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.
整理得22＋－1＝0.
即2e2＋e－1＝0，
所以e＝或－1(舍)．
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)，
所以|AB|＝＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离
d＝＝.
由于d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
[备课札记]
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