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阶段性检测卷一
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若A＝{(1，－2)，(0,0)}，则集合A中的元素个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
2．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
答案 D
3．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析 U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，
∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}共有3个元素．
答案 A
4．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的全部集合A的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由题意知A⊆{0,1}，∴A为4个．
答案 D
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩∁IS
D．(M∩P)∪∁IS
解析 阴影部分是M∩P的一部分，且不在S内，故选C.
答案 C
6．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析 解方程组
得或
所以A∩B＝.
所以A∩B的元素个数是2.
答案 C
7．设全集U＝{1,3,5,7}，M＝{1，|a－5|}，M⊆U，∁UM＝{5,7}，则a的值为( )
A．2或－8 B．－8或－2
C．－2或8 D．2或8
解析 由M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5,7}可知|a－5|＝3，∴a＝2，或a＝8.
答案 D
8．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是( )
A．{a|3<a≤4} B．{a|3≤a≤4}
C．{a|3＜a＜4} D．∅
解析 依据题意可画图．
∵a＋2>a－1，∴A≠∅
解得3≤a≤4.故选B.
答案 B
9．若集合P＝{x|x＝n，n∈Z}，Q＝，S＝，则下列各项中正确的是( )
A．QP B．QS
C．Q＝P∪S D．Q＝P∩S
解析 P＝{x|x＝n，x∈Z}，Q＝，S＝.由Q＝，可知：当n＝2m，m∈Z，则x＝m，m∈Z，当n＝2m＋1，m∈Z时，则x＝m＋，m∈Z，∴P∪S＝Q.所以选C.
答案 C
10．设U＝{1,2,3,4,5}，A、B为U的子集，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是( )
A．3∉A,3∉B B．3∉A,3∈B
C．3∈A,3∉B D．3∈A,3∈B
解析 三个条件依次表示在A中且在B中的元素只有2，不在A中且在B中的元素只有4，不在A中且不在B中的元素只有1,5.故余下的一个元素3只能是在A中且不在B中了．∴选择C.
答案 C
二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)
11．已知集合M＝{x|x＝4n＋2，n∈Z}，则2 010__________M,2 011__________M(用“∈”或“∉”填空)．
解析 ∵2010＝4×502＋2，∴2010∈M，而2011不存在n使2011＝4n＋2，∴2011∉M.
答案 ∈ ∉
12．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
答案 －3
13．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是________．
解析 由集合的互异性求得．
答案 x≠0且x≠－1且x≠3
14．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．
解析 由A∩B≠∅，得a>－1.
答案 a>－1
15．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为__________．
解析 ∵x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A，
∴A中的孤立元素为5.
答案 1
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(12分)请选择适当的方法表示下列集合：
(1)1到100连续自然数的平方；
(2)能被3整除，且大于4小于15的自然数；
(3)正偶数集；
(4)由不等式x2－x－2>0的全部解组成的集合；
(5)到定点O的距离等于定长r的点M的集合；
(6)平面直角坐标系内第一象限内的点集．
解 (1){1,4,9,16，…，1002}．
(2){6,9,12}．
(3){x|x＝2n，n∈N＋}．
(4){x|x2－x－2>0}．
(5){点M||OM|＝r}(O是定点，r是定长)．
(6){(x，y)|x>0，y>0}．
17．(12分)已知U＝R，设A＝{x|－4<x<－}，B＝{x|x≤－4}，求A∪B，A∩B，A∪(∁UB)．
解 A∪B＝{x|x<－}，A∩B＝∅，
∵∁UB＝{x|x>－4}，
∴A∪(∁UB)＝{x|x>－4}．
18．(12分)已知x∈R，集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3,2x－1，x2＋1}，假如A∩B＝{－3}，求A∪B.
解 ∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B，
又x2＋1≠－3，∴x－3＝－3，或2x－1＝－3，
若x－3＝－3，即x＝0，A＝{－3,0,1}，
B＝{－3，－1,1}，A∩B＝{－3,1}不合题意．
若2x－1＝－3，即x＝－1，A＝{－3,1,0}，
B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}．
∴A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．
19．(13分)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B≠∅，且A∩(∁UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.
解 由A∩(∁UB)＝{1,2}，知，1∈A,2∈A,1∉B，2∉B，又A∩B≠∅，A∪B＝U，
∴A，B可能情形有：
A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,4,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}．
20．(13分)已知集合A＝{x|2a<x<3－2a}，B＝{x|x<5a＋1}
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解 (1)由A∪B＝B，知A⊆B.
若A＝∅，即3－2a≤2a，
a≥时符合题意．
当A≠∅时，由题意得
得即≤a＜.
综上得a的取值范围是a≥.
(2)当A＝∅，即a≥时A∩B＝∅.
当A≠∅时，由题意得
得即a≤－.
综上得，当a≥，或a≤－时，A∩B＝∅.
21．(13分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}．
(1)若A∩B＝B，求实数a的值；
(2)若A∪B＝B，求实数a的值．
解 ∵A＝{0，－4}，
(1)若A∩B＝B，则B⊆A，∴B＝∅或{0}，{－4}，{0，－4}．
①若B＝∅，则由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0得a<－1；
②若B＝{0}，则解得a＝－1；
③若B＝{－4}，则方程组无解，
∴B≠{－4}；
④若B＝{0，－4}，则解得a＝1.
综上知，a＝1，或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A⊆B.
又∵A＝{0，－4}，B中至多有两个元素，
∴B＝A＝{0，－4}．
∴∴a＝1.
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