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其次章 §2 2.2
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )
[答案] A
[解析] 由于汽车先启动、再加速、到匀速、最终减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最终慢，故A图比较适合题意．
2．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1
[答案] A
[解析] 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
[答案] A
[解析] 由对应法则y＝x2－2x，得0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}，故选A.
4．若f()＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝( )
A. B.
C. D.－1
[答案] B
[解析] 令＝t，则x＝.
∵x≠0，且x≠1，∴t≠1，且t≠0.
∴f(t)＝＝.∴f(x)＝.故选B.
5．如图中的图像所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[答案] B
[解析] 可将原点代入，排解选项A，C，再将点(1，)代入，排解选项D，故选B.
6．已知f(x)＝，则f{f[f(5)]}为( )
A．0 B．－1
C．5 D．－5
[答案] D
[解析] 依据分段函数解析式可知，
f(5)＝0，而f(0)＝－1，
f(－1)＝2×(－1)－3＝－5.
故f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝－5.
二、填空题
7．已知集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝－x2＋4x}，则A∩B＝________.
[答案] {x|－1≤x≤4}(或写成{y|－1≤y≤4})
[解析] A是函数y＝的定义域，则A＝{x|x≥－1}．B是二次函数y＝－x2＋4x的值域，则B＝{y|y≤4}．
则A∩B＝{x|－1≤x≤4}．
8．已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，则f[g(x)]＝________.
[答案] 4x2＋4x＋2
[解析] ∵f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，
∴f[g(x)]＝f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋1＝4x2＋4x＋2.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(－8)，f(－)，f()，f()的值；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
[分析] 给出的函数是分段函数，应留意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．
(1)依据自变量的值，选用相应关系式求函数值．
(2)在不同的区间，依次画出函数图像．
(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集．
[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)由于－8∉[－1,2]，所以f(－8)无意义．
由于－1≤x<0时，f(x)＝－x，
所以f(－)＝－(－)＝.
由于0≤x<1时，f(x)＝x2，
所以f()＝()2＝.
由于1≤x≤2时，f(x)＝x，所以f()＝.
(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：
(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的值域为[0,2]．
10．求下列函数的解析式．
(1)已知f(1－x)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[解析] (1)∵f(1－x)＝x2－3x＋2＝(1－x)2＋1－x，
∴f(x)＝x2＋x.
(2)令＋1＝t，则t≥1.即x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴⇒∴f(x)＝x2＋x.
一、选择题
1．设函数f(x)＝，则f()的值为( )
A. B．4
C. D．18
[答案] A
[解析] f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f()＝f()＝1－()2＝.
2．已知f＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于( )
A．－ B.
C. D．－
[答案] A
[解析] 令2x＋3＝6，得x＝，所以m＝－1＝×－1＝－.或先求f(x)的解析式，再由f(m)＝6，求m的值．
二、填空题
3．某客运公司确定车票价格的方法是：假如行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；假如超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．
[答案] y＝
[解析] 依据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
4．已知f(x)满足f(x)＋2f＝3x，则f(2)＝________.
[答案] －1
[解析] 设f(x)的定义域为C，由f(x)＋2f＝3x知，
x∈C，∈C，将原式中的x换为，
原式仍成立，即有f＋2f＝.
与原式联立解得f(x)＝－x，
∴f(2)＝－2＝1－2＝－1.
三、解答题
5．(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
[解析] (1)∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x－1.∴a2x＋ab＋b＝4x－1.
即⇒或
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1知c＝1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左端开放整理得2ax＋(a＋b)＝2x.
∴即∴f(x)＝x2－x＋1.
6．画出下列函数的图像：
(1)y＝|x－5|＋|x＋3|；
(2)y＝2x－3，x∈Z，且|x|≤2；
(3)y＝x2－2|x|－1；
(4)y＝
[解析] (1)y＝|x－5|＋|x＋3|＝
图像如图(1)所示．
(2)y＝2x－3，∵x∈Z，且|x|≤2.
∴x＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．
(3)y＝x2－2|x|－1＝
图像如图(3)所示．
(4)y＝的图像如图(4)所示．
7．如图所示，半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x之间的关系式，并求出它的定义域．
[解析] 设腰长AD＝BC＝x，
作DE⊥AB交AE于点E，连接BD，
则∠ADB＝90°，∴Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2＝AE·AB，AE＝.∴CD＝AB－2AE＝2R－.
∴周长y满足关系式
y＝2R＋2x＋＝－＋2x＋4R.
即周长y与腰长x之间的关系式为y＝－x2＋2x＋4R.
∵四边形ABCD为圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0.
即⇒0<x<R.
所以函数的定义域为{x|0<x<R}.
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