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其次章 §5 第2课时
一、选择题
1．下列说法中不正确的是( )
A．图像关于原点成中心对称的函数确定是奇函数
B．奇函数的图像确定过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点的个数确定是偶数个
D．图像关于y轴呈轴对称的函数确定是偶函数
[答案] B
[解析] ∵奇函数的图像不愿定过原点，如y＝，故应选B.
2．已知函数f(x)＝x4，则其图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析] ∵f(－x)＝x4＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称．
3．下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是( )
[答案] B
4．(2022·新课标Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 本题考查复合函数的奇偶性．函数f(x)是奇函数，则函数|f(x)|是偶函数，所以选项A得到的函数是奇函数；选项B、D是偶函数；所以选C，一个奇函数和一个偶函数的积在其公共的定义域内是奇函数．
5．函数f(x)＝＋x－1，若f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
[答案] D
[解析] 令g(x)＝＋x，则g(x)为奇函数．
∵f(a)＝g(a)－1＝2，∴g(a)＝3.
∴f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－4，故选D.
6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( )
A．{x|－3<x<0或x>3}
B．{x|x<－3或0<x<3}
C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3<x<0或0<x<3}
[答案] B
[解析] x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，
又∵f(x)在(0，＋∞)内是增加的，
∴x∈(0,3)时f(x)<0，
又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时，f(x)<0，故选B.
二、填空题
7．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，则f(－2)、f(1)、f(－3)的大小关系是____________．
[答案] f(1)<f(－2)<f(－3)
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
∵f(x)在[0，＋∞)上是增加的，且1<2<3，
∴f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(－3)．
8．下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－；②f(x)＝x2；③y＝2x＋1；④f(x)＝－3，x∈[－1,2]．
[答案] ①
[解析] y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数；f(x)＝x2的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以是偶函数；y＝2x＋1的定义域为R，图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称是非奇非偶函数；f(x)＝－3x，x∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．
三、解答题
9．推断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x2；
(2)f(x)＝0；
(3)f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝.
[解析] (1)函数的定义域为R，它关于原点对称，
但f(－x)＝－x3＋x2与－f(x)和f(x)都不相等，
所以f(x)＝x3＋x2为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，它关于原点对称，
由于f(－x)＝0，f(x)＝0，
即f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)同时成立．
所以f(x)＝0既是奇函数又是偶函数．
(3)函数的定义域为R，
f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x，
f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．
(4)定义域为{x∈R，x≠0}，而当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)；
∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．
(5)解法1：函数的定义域为实数集R，且
f(－x)＋f(x)＝＋＝
＝＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)在R上是奇函数．
解法2：当x≠0时，f(x)≠0，此时
＝
＝
＝＝＝－1，
即f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，f(－0)＝0＝－f(0)．
∴f(x)在R上为奇函数．
10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是削减的，若f(a)≥f(2)，求实数a的取值范围．
[解析] 解法1：由于y＝f(x)在R上为偶函数，且在(－∞，0]上是削减的，
所以y＝f(x)在[0，＋∞)上为增加的．
①当a≥0时，由于f(a)≥f(2)，所以a≥2.
②当a≤0时，由于f(x)为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)．
又由于f(a)≥f(2)，所以f(a)≥f(－2)．
而f(x)在(－∞，0]上为削减的，所以a≤－2.
由①②可得a≤－2或a≥2.
解法2：由于f(x)在R上为偶函数且在(－∞，0]上为削减的，
所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是增加的．
因此由f(|a|)＝f(a)≥f(2)得|a|≥2，解得a≤－2或a≥2.
即a的取值范围为a≤－2或a≥2.
一、选择题
1．(2022·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，①
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②
由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，
∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.
2．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2)
C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)
[答案] D
[解析] ∵函数y＝f(x＋2)为偶函数，
令g(x)＝f(x＋2)，
∴g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)，
∴f(x＋2)＝f(2－x)，
∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
又∵函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，
∴在(－∞，2)上为减函数，利用距对称轴x＝2的远近可知，
f(0)>f(1)，f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．
二、填空题
3．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.
[答案] －1
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0<x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．
[答案] －0.5
[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)
＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)，
又f(x)为奇函数，∴f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
三、解答题
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
[分析] 已知条件较多，充分利用已知条件：f(1－m)<f(m)，则f(|1－m|)<f(|m|)．
[解析] 由于f(x)在[－2,2]上为偶函数，f(1－m)<f(m)．
所以即
解得<m≤2.
6．(1)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较f(－)与f(1)的大小；
(2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] (1)∵－1<－，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，
∴f(－1)<f(－)．
又∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)<f(－)．
(2)由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①
得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.
∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②
①＋②得2f(x)＝2x2－4，∴f(x)＝x2－2.
①－②得2g(x)＝2x，∴g(x)＝x.
7．已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，并且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c.
[分析] 依据定义，应使f(x)＋f(－x)＝0对定义域内的任意x恒成立的式子即为恒等式．
[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴＝0，
即＝0.
∵ax2＋1不恒为0，∴c＝0.
又∵f(1)＝2，
∴＝2.∴a＋1＝2b.
又∵f(2)<3，∴<3.
将2b＝a＋1代入上式<3，得<0.
∴－1<a<2，
∵a∈Z，∴a＝0，或a＝1.
而a＝0，b＝与b∈Z冲突，故舍之．
∴a＝1，b＝1，c＝0.
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