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第2讲 算法与程序框图、不等式与线性规划及计数 原理
1．(仿2021·重庆，8)执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为________．
解析 依据程序框图知，
1＋2＋22＋…＋2n＝127，
则＝127,2n＋1＝128.
∴n＝6.
因此条件①应为n≤6.
答案 n≤6
2．(仿2021·山东，6)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为( ，1)，则z＝·的最大值为________．
解析 作不等式组表示的平面区域D，如图所示．
又z＝O·O＝(x，y)·(，1)
＝x＋y，
∴y＝－x＋z.
令l0：y＝－x，平移直线l0，
当过点M(，2)时，截距z有最大值．
故zmax＝×＋2＝4.
答案 4
3．(仿2011·重庆，7)已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为________．
解析 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
∵a3＝a2＋2a1，
∴a1q2＝a1q＋2a1，解之得q＝2.
又＝4a1，
∴aqm＋n－2＝16a，∴2m＋n－2＝16.
因此m＋n＝6.
则(m＋n)＝5＋＋≥9.
当且仅当n＝2m(即n＝4，m＝2)时取等号．
∴(m＋n)的最小值为9，
从而＋的最小值为.
答案
4．(仿2022·山东，11)某高校从5名男高校生志愿者和4名女高校生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女高校生都有，则不同的选派方案共有________种．
解析 从这9名高校生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A＋A种，故符合条件的选派方案有A－(A＋A)＝420种．
答案 420
5．(仿2021·江西，5)已知n(n∈N*)的开放式中，前三项系数成等差数列，则开放式中的常数项是________．
解析 开放式的前三项的系数分别为C，C，C，则由题意可得C＋C＝C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是Tr＋1＝Cx8－rr＝Crx8－r，若Tr＋1为常数项，则8－r＝0，即r＝6.故开放式中的常数项为T7＝C6＝.
答案
6．(仿2021·辽宁，8)阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．
解析 执行程序框图可得，n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，
k＝3；n＝148×3＋1＞150，循环结束，故输出的k值为3.
答案 3
7．(仿2021·北京，8)设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，明显a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故8≤a≤10.
答案 [8,10]
8．(仿2021·安徽，7)(a＋x)(1＋ )5的开放式中x2项的系数是15，则开放式的全部项系数的和是________．
解析 (a＋x)(1＋)5的开放式中含x2项为
a·C()4＋x·C()2＝(5a＋10)x2.
依题意5a＋10＝15，∴a＝1.
在(a＋x)(1＋)5中令x＝1，
得2·(1＋1)5＝64.
∴开放式中的全部项系数的和为64.
答案 64
9．(仿2011·湖北，17)某镇政府为了更好地服务于农夫，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农夫，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府打算动员部分农夫从事蔬菜加工．据估量，若能动员x(x＞0)户农夫从事蔬菜加工，则剩下的连续从事蔬菜种植的农夫平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农夫平均每户的年收入将为3(a＞0)万元．
(1)在动员x户农夫从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农夫的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农夫的总年收入，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，要使这100户农夫中从事蔬菜加工的农夫的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农夫的总年收入，求a的最大值．
解 (1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，
即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.
(2)从事蔬菜加工的农夫总年收入为3x万元，
从事蔬菜种植的农夫的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．
依据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，
即ax≤100＋x＋恒成立．
由于0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，
而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.
10．(仿2021·辽宁，24)若函数f(x)对任意的实数x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2－x1|，则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”．
(1)推断g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
(2)若数列{xn}对全部的正整数n都有|xn＋1－xn|≤，设yn＝sin xn，求证：|yn＋1－y1|＜.
(1)解 g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，但h(x)＝x2－x不是区间R上的“平缓函数”．
设φ(x)＝x－sin x，则φ′(x)＝1－cos x≥0，则φ(x)＝x－sin x是实数集R上的增函数，
不妨设x1＜x2，则φ(x1)＜φ(x2)，即x1－sin x1＜x2－sin x2，
则sin x2－sin x1＜x2－x1.①
又y＝x＋sin x也是R上的增函数，则x1＋sin x1＜x2＋sin x2，
即sin x2－sin x1＞x1－x2，②
由①②得－(x2－x1)＜sin x2－sin x1＜x2－x1.
∴|sin x2－sin x1|＜|x2－x1|对x1＜x2都成立．
当x1＞x2时，同理有|sin x2－sin x1|＜|x2－x1|成立．
又当x1＝x2时，|sin x2－sin x1|＝|x2－x1|＝0，
∴对任意的实数x1，x2∈R，
均有|sin x2－sin x1|≤|x2－x1|.
∴g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”．
∵|h(x1)－h(x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|，
取x1＝3，x2＝2，则|h(x1)－h(x2)|＝4＞|x1－x2|，
∴h(x)＝x2－x不是R上的“平缓函数”．
(2)证明 由(1)得g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”．
则|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，
∴|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.
而|xn＋1－xn|≤，
∴|yn＋1－yn|≤＜＝.
∵|yn＋1－y1|＝|(yn＋1－yn)＋(yn－yn－1)＋(yn－1－yn－2)＋…＋(y2－y1)|，
∴|yn＋1－y1|≤|yn＋1－yn|＋|yn－yn－1|＋|yn－1－yn－2|＋…＋|y2－y1|.
∴|yn＋1－y1|≤
＝＜.
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