【Ks5u发布Word版】江苏省南通市2021届高三第三次调研测试-数学-Word版含答案.docx

南通市2021届高三第三次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是 ▲ ．
【答案】0
2． 已知复数z=(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．
【答案】3
3． 已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 ▲ ．
【答案】-3
（第5题）
开头
输入x
y←5
x<4
y←x2-2x+2
输出y
结束
Y
N
（第4题）
时间（小时）
频率
组距
0.004
0.008
0.012
0.016
0
50
75
100
125
150
4． 为了解同学课外阅读的状况，随机统计了n名同学的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为 ▲ ．
【答案】1000

5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．
【答案】-4
6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 ▲ ．
【答案】
7． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 ▲ ．
【答案】
8． 在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an= ▲ ．
【答案】2n+1
9． 给出下列三个命题：
①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；
②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；
③“a=0”是“函数f(x) = x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为 ▲ ．
【答案】③
10．已知一个空间几何体的全部棱长均为1 cm，其表面开放图如图所示，则该空间几何体的体积
（第10题）
A
B
C
D
E
F
（第11题）
P
V= ▲ cm3．
【答案】

11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为 ▲ ．
【答案】
12． 已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 ▲ ．
【答案】（-5，0）
13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 ▲ ．
【答案】3或-2
14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ▲ ．
【答案】[1，]

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第15题）
E
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）假如点D，E分别为A1C1，BB1的中点，
求证：DE∥平面ABC1．

解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，
故B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第15题答图）
E
F
又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，
故B1C⊥平面ABC1． 5分
因B1C平面BCC1B1，
故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分
（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．
又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．
因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，
故DF∥面ABC1． ………………… 10分
同理，EF∥面ABC1．
因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
故平面DEF∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分
因DE平面DEF，
故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分

x
y
O
2
-2
（第16题）

16．（本小题满分14分）
已知函数（其中A，，为常数，
且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若，求的值．

解：（1）由图可知，A=2，…………………………………………………………… 2分
T=，故，所以，f(x) =．…………………………………… 4分
又，且，故．
于是，f(x) =．………………………………………………………… 7分
（2）由，得．………………………………………… 9分
所以，………………………… 12分
=．…………………………………… 14分

17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．
y

x
O
F1
F2
B
C
（第17题）
D
①求k1k2的值；
②求OB2+OC2的值．

解：（1）方法一
依题意，c=，a2=b2+3，……………………………………………………… 2分
由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4．
故所求椭圆方程为：．
离心率e=．…………………………………………………………………… 5分
方法二
由椭圆的定义知，2a==4，
即a=2．…………………………………………………………………………… 2分
又因c=，故b2=1．下略．
（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，
于是k1k2====．………………… 8分
②方法一
由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=．
所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2==，
所以，=4．…………………………………………………………………… 11分
又2==，故．
所以，OB2+OC2 ==5．………………………………………… 14分
方法二
由①知，k3k4=k1k2=．
将直线y=k3x方程代入椭圆中，得．…………………… 9分
同理，．
所以，==4．…………………… 11分
下同方法一．

18．（本小题满分16分）
为丰富市民的文化生活，市政府方案在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建筑市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化呈现区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．
A
B
C
D
P
Q
（第18题）
O
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．

解：（1）设，
在△中，，
即，…………………………………………………… 2分
所以，，………… 4分
所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．
A
B
C
D
P
Q
（第18题答图）
O
E
F
答：当都为50 m时，△的周长最大． 6分
（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．
过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，
则分别为AB，CD的中点，
所以，由，得． 8分
在△中，．
又在△中，，故． 10分
所以，
=
，．………… 12分
（始终没有交代范围扣2分）
令，，
，，
又y=及y=在上均为单调递减函数，
故在上为单调递减函数．
因＞0，故＞0在上恒成立，
于是，在上为单调递增函数． ……… 14分
所以当时，有最大值，此时S有最大值为．
答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m2．… 16分

19．（本小题满分16分）
已知数列{an}，{bn}中，a1=1，，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）若，求Sn；
（2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？若存在，求出全部满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2．
解：（1）当an=时，bn==．……………………………………… 2分
所以，Sn=．……………………………………… 4分
（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=．
证明：在中，令n=1，得b3=b1．
设an=，则bn=．………………………………………………… 6分
由b3=b1，得．
若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．………………… 8分
若q，则，即q2 =1，冲突．
综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=． 10分
（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．
所以，≥0，n=1，2，3，…．
所以，Sn=b1+b2+…+bn≥0．………………………………………………………… 13分
又，=
=≤．
故，Sn=b1+b2+…+bn≤
==＜2．
所以，0≤Sn＜2．………………………………………………………………… 16分

20．（本小题满分16分）
已知函数（a∈R）．
（1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；
（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；
（3）若有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜-1．
解：（1）由题设，=，故在(1，e2)上单调递减．…………………… 2分
所以在(1，e2)上至多只有一个零点．
又＜0，故函数在(1，e2)上只有一个零点．…………… 4分
（2）=，令=0，得x=1．
当x＞1时，＜0，在上单调递减；
当0＜x＜1时，＞0，在(0，1)上单调递增，
故=f(1)=a-1．……………………………………………………… 6分
①当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分
②当＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设；
③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0；
另一方面，＜1，≤2a-ea＜0(易证：ex≥ex)，
于是，f(x)有两零点，不合题设．
综上，a的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分
（3）证：先证x1+x2＞2．
依题设，有a==，于是．
记=t，t＞1，则，故．
于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+x2-2=．
记函数g(x)=，x＞1．
因＞0，故g(x)在上单调递增．
于是，t＞1时，g(t)＞g(1)=0．
又lnt＞0，所以，x1+x2＞2．…………………………………………………………… 13分
再证x1+x2＜-1．
因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的两零点．
由=a-1-lnx=0，得x=(记p=)．
仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有
作函数h(x)=，则≥0，故h(x)单调递增．
故，当x＞p时，h(x)＞h(p)=0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．
于是，ax1-1=x1lnx1＜．
整理，得＞0，
即，＞0．
同理，＜0．
故，＜，
，
于是，．
综上，2＜x1+x2＜-1．……………………………………………………… 16分
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
C
A
B
O
P
（第21（A）题）
H
如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．
求证：PA·AH=PC·HB．

证：连AC，AB．
因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．
又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即．……………………………… 5分
C
A
B
O
P
（第21（A）题答图）
H
因PA为圆O的切线，故∠PAC=∠B．
在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．
在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．
所以，∠HAC=∠B．
所以，∠PAC=∠CAH，
所以，，即．
所以，，即PA·AH=PC·HB．………………………………………… 10分

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，，，求△的面积．
解：因，，，
即．…………………………………………………… 6分
故．……………………………………………………………… 10分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r＞0）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值．
解：由，得，
即直线l的方程为．…………………………………………………… 3分
由得曲线的一般方程为，圆心坐标为，……… 6分
所以，圆心到直线的距离，由，则．……………… 10分

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．
证：因a＞b＞c＞d，故a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0．
故，…………… 6分
所以，．………………………………………………… 10分

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第22题）
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，．
（1）求与面所成角的正弦值；
（2）点在侧棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值为，
求的值．
解：（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第22题答图）
x
y
z
建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．
设，则D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），
A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）． 2分
（1）设与面所成角的大小为，
，
设平面的法向量为n=（x，y，z），
，，则，即．
令，则，所以，，
所以与平面所成角的正弦值为．………………………… 6分
（2）设E(1，0，)，0≤≤2．
设平面的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面的法向量为n2=（x2，y2，z2），
，
由，得，
令，则，，，
由，得，
令z2=1，则x2=2，y2=-2，，，
所以，得．所以．…………………………… 10分

23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，假如取出白球，则把它放回袋中；假如取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．
（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
解：（1）由题意可知X2=3，4，5．
当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)==；
当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)==；
当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)==．…… 3分
所以随机变量X2的概率分布如下表：

X2
3
4
5
P

（一个概率得一分 不列表不扣分）
数学期望E(X2)=．……………………………… 5分
（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5．
则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，
P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5，……………………… 7分
所以，E(Xn+1)
=3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)
=p0+p1+p2+p3+p4+p5
=(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5
=E(Xn)+1． …………………9分
由此可知，E(Xn+1)-8=(E(Xn)-8)．
又E(X1)-8=，所以E(Xn)=．…………………………… 10分