天然气管网稳态运行优化模型的非线性界增强方法.pdf

2024年3 月Mar.,2024DOI:10.15960/ki.issn.1007-6093.2024.01.008这筹学学报（中英文)Operations Research Transactions第2 8 卷第1 期Vol.28 No.1天然气管网稳态运行优化模型的非线性界增强方法张晴1 陈亮3 艾文宝1,2摘要天然气管网稳态运行优化问题在提升能源使用效率、降低运行成本等多方面发挥着重要的作用。该问题由于网络结构复杂、规模大、非线性程度高，所以建模成的混合整数非线性规划模型求解难度非常大。本文基于混合整数线性规划的界增强方法，提出了适用于该问题结构的非线性界增强方法，能够缩紧变量的上下界，使得在线性化方法中更好地逼近原混合整数非线性规划模型。数值结果显示新的方法能够得到更优的可行解，并且加快了天然气管网稳态运行优化问题的求解。关键词天然气管网运行优化，混合整数非线性规划，界增强方法中图分类号0 2 2 12010 数学分类号 90 C11,90C90,90B10A nonlinear bound strengthing method forthe steady-state operation optimizationmodel of gas pipeline networks*ZHANG QinglCHEN Liang3 AI Wenbaol.2 KOU Caixial,2,tAbstract The gas pipeline network steady-state operation optimization problemplays an important role in improving energy use efficiency and reducing operation cost inmany aspects.It is extremely challenging to solve its mixed integer nonlinear program-ming model,because of the complex network structure,large scale and high nonlinearity.In this paper,based on the bound strengthing method of mixed integer linear program-ming,we propose a nonlinear bound strengthing method for the structure of this problem,which can tighten the upper and lower bounds of variables and more approximate to theoriginal mixed integer nonlinear programming model in the linearization method.Nu-merical results show that this method can obtain better feasible solutions and speed upthe solution of the optimization problem for the steady-state operation of gas pipelinenetworks.Keywords gas pipeline network operation optimization,mixed integer nonlinearprogramming,bound strengthing methodChinese Library Classification O221收稿日期：2 0 2 2-0 3-2 5*基金项目：国家自然科学基金（Nos.11971073，1 2 1 7 1 0 52，1 2 2 0 1 6 2 0)1.北京邮电大学理学院，北京 1 0 0 8 7 6;College of Sciences,Beijing University of Posts and Telecommu-nications,Beijing 100876,China2.数学与信息网络教育部重点实验室（北京邮电大学），北京1 0 0 8 7 6；KeyLaboratory of Mathematicsand Information Networks of Ministry of Education(Beijing University of Posts and Telecommunications),Beijing 100876,China3.中国科学院数学与系统科学研究院，北京1 0 0 1 90；Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China+通信作者E-mail:寇彩霞1,2,102天然气是目前最清洁高效的矿物能源之一，已经进入千家万户。管道运输是陆上天然气长距离运输的主要形式，即将大量高压天然气从气源地输送到指定配送地区。而我国疆域广衰，超长距离的天然气管网运行优化技术将直接影响能源使用效率、运输成本等。本文主要研究天然气在管网中输送的稳态运行优化问题，其中稳态是指天然气在管网输送中流量不随时间的变化而变化。考虑到气体与管壁的摩擦，使得气体压力在运输过程中逐渐降低，使得气体不能稳定传输，因此需选择在管网的适当位置通过压气站给气体增压，使其能够稳定传输。在实际应用中，系统的总运行成本很大程度上取决于管网中压气站对气体加压的燃料消耗。根据Luongo等人1 的研究，压气站的运行成本占公司总运行预算的2 5%50%。中国因为疆域辽阔，天然气管道系统的网络节点多、网络结构复杂，即使天然气管网运输系统利用率小幅提高，也会节约大量运行成本。因此，天然气运行优化问题的目标是在保证能够正常运输并满足输送流量的要求下，最小化压气站的总燃料消耗。天然气管网运输问题在传统的网络流问题的基础上，每个节点上额外定义了压力和温度，并且每个管道中的气体需满足物理约束包括压降方程和温降方程。不幸的是，它们都是非线性的,这使得该问题的求解变得十分困难。1 96 8 年，Wong和Larson2首次将动态规划应用于枪管网络，随后它们在文献3 中将动态规划应用于树状网络。动态规划的优点是可以保证解是全局最优的，但是它不适用于循环网络，并且计算量会随着问题维数的增加呈指数上升。迄今为止，已知的关于循环网络最重要的工作之一是Carter等4 提出的一种非序列动态规划算法，但是该算法仅适用于固定的管网流量。1 98 7 年Percell和Ryan5提出了一种基于广义既约梯度法的非线性优化技术，并将其应用于枪管网络和树状网络。相比于动态规划，该技术可以避免指数的算法复杂度，但是不能保证得到的解是全局最优解。2 0 1 4年Misra 等6 提出了一种基于几何规划的方法，并在比利时的非循环的天然气管网结构系统中表现出了几何规划始终优于动态规划。随着混合整数规划的发展，最近二十多年的工作旨在解决非线性管网运行优化问题中包含的离散变量和非线性约束。然而，目前的优化算法难以高效地得到真实网络的混合整数非线性规划（MINLP）模型的全局最优解，因此两个主要的研究分支得到发展。一是采用线性近似的方法，以获得其混合整数线性规划（MILP）模型（请参阅Hacklnder和Verstegel7,2001年；Martin和Moller8,2005 年；Martin等9,2 0 0 6 年；GeiBler和Martin10,2015 年；黄亚魁等1 1 ,2 0 1 7 年；Burlacu等1 2 ,2 0 1 9 年)。二是求解松驰的MILP模型，固定最优解中整数变量，再求解非线性规划问题（请参阅Rios-Mercado等1 3 ,2002年；Borraz-Sanchez 和 Rios-Mercado14,2005 年；Martin 等1 5,2 0 1 5 年)。以上两种方法都依赖于 MINLP模型，而更紧的MINLP模型将有利于两种方法的近似与求解。界增强方法1 6-1 7 是混合整数线性规划求解中最常用的预处理技巧之一。但是在混合整数非线性规划的求解过程中，求解器无法自动实现该预处理方法，只能对线性化后的MILP模型进行界增强。而 MINLP的外逼近、线性近似等方法依赖于变量的上下界，更紧的变量界能够使得线性化模型更好地逼近原模型。本文针对天然气管网稳态运行的MINLP模型，将线性约束的界增强方法推广至非线性约束中，缩紧了原模型变量的界，使得其线性化方法后的MILP模型更逼近原模型，进而提升了求解效率，获得了更优的可行解。本文的内容安排如下。第1 节，介绍了天然气管网稳态运行优化问题及其MINLP模张晴，陈亮，艾文宝，寇彩霞2010 Mathematics Subject Classification 90C11,90C90,90B1028卷1期型。第2 节，基于线性约束上的界增强，提出了一些新的专门针对燃气网络优化问题的非线性界增强算法，并借鉴文献1 1 线性化的思想，结合文献中的算法共同求解问题。第3节，介绍了数值实例和数值结果。第4节，介绍了本文的结论和今后的研究方向。1天然气管网稳态运行优化问题本节将介绍天然气管网稳态运行优化问题的数学模型。给定一个天然气网络，我们考虑在运输天然气量能够满足用户需求的情况下，使得能耗成本最低。由于在运输过程中，气体与管道间的摩擦将引起压降，尤其在长距离运输中，压降是不能忽略不计的。因此，技术上必须使用压缩机增加气体压力以保证天然气正常运输。一方面，天然气运输以及压缩机增压过程中物理规律是非线性的；另一方面，压缩机的开关具有离散性质，因此,该问题可被建模为MINLP模型。本文假设天然气运输管网仅包含节点、管道和压缩机。1.1稳态管网的MINLP模型记天然气运输网络为有向图G=（V,A)，其中节点集V可划分为入口节点集V。、出口节点集Va和中间节点集Vi，即V=VUVaUVi。弧的集合A由管道的集合A，和压缩机的集合 A组成，即 A=ApUAc。此外,弧=（u,u)A 上的质量流量用 da表示,节点EV处的压力和温度分别用p和T，来表示。对于每个节点EV，设p和T，分别为压力变量和温度变量，其上下界约束为在每个节点处需要满足质量流量守恒，即w:(u,u)EAw:(u,U)EA其中d，为处的天然气需求量。出口节点EVa有d0,表示需求量；入口节点EV。有d0,其相反数表示供应量；中间节点集EVi有d=0,表示流量平衡。1.1.1管道首先，管道EAp上的流量有上下界约束其次，在管道=（u,)E A p 中压降的物理过程是天然气管网运输问题的非线性约束之一1 1 。它可用著名的Weymouth方程1 8 ,其解析形式如下(5)Seda其中(1）La为管道长度；（2）入a为摩擦系数，由Nikuradse公式计算；（3）R。为通用气体常数；（4)da为管道直径；（5）S。为管道的横截面积，Sa=da/4；（6）z a,p=z(p a,T a）为天然气管网稳态运行优化模型的非线性界增强方法puinpupmax,VuEV,TminTTmax,wEV.Qou-quu=de,VuE V,103(1)(2)(3)(4)104压缩系数，本文与文献1 0 取法相同，Pa和T。采用平均压力和平均温度：pa=(max(pm,pln)+min(p,pu)/2,a(u,)Ap.Ta=(maxTmin,Tmin)+min(Tmax,Tmax)/2,V a=(u,)e Ap.函数2(p,T)定义如下其中pe为虚拟临界压力，T。为虚拟临界温度。最后，管道=（u,u)A 内温降的物理过程也是天然气管网运输问题中的非线性约束。它在著名的 Sukhov公式中加上Joule-Thomson效应的影响项1 9,其解析形式如下T,=To+e-eaLa(Tu-To)-(6)eaLaCpeala=Kda,Va=(u,u)E Ap,其中To为管道周围土壤温度；D；为Joule-Thomson系数；K为总传热系数；Cp为定压热容。1.1.2压缩机压缩机作为管网中的一个主要元件，其目的主要是以消耗一部分天然气为代价为管网中的气体增压，以使天然气在管网中能够正常传输。但在实际的管网运行过程中，有时仅需管网中的部分压缩机处于运行状态便可以保证管网气体可以正常进行传输，而且还有可能在此基础上达到减少管网耗气量的目的。在天然气运输管网中，每台压缩机可视为一条弧=（u,u）EA c，u 为压缩机入口，为压缩机出口，其绝热效率 nada和能耗成本系数 ca已知。压缩机压缩气体的绝热过程会导致绝热焰Had,a的变化：Had,aKRsza,cl山K-1Pu其中 是已知的绝热指数，压缩系数 za,c=z(pu,Tu）与文献1 0 取法相同，这里pu=(pmin+pmax)/2,Tu=(Tmin+Tmax)/2。压缩机将进口压力pu提高到出口压力p所消耗的功率Na=nad,a将式(8)带入式(9),消去Had可得非线性约束-1KNa=Aa-1Tula,Va=(u,u)E Ac,张晴，陈亮，艾文宝，寇彩霞2(p,T)=1+0.257 0.533 3PcD;(1-e-eaLa)一1Pu28卷TcpPeT,(pu-pu),Va=(u,u)E Ap,Va=(u,u)EAc,(7)(8)(9)(10)1期共中人六天然气管网稳态运行优化模型的非线性界增强方法105压缩机作为管网中的可控元件，有开与关两种运行模式。我们引入二元变量sa来表示压缩机的不同状态1,压缩机a开；Sa=0,压缩机a关。当压缩机=（u,）关闭时，没有气体流经压缩机，即压缩机出入口的压力与温度满足Pu=pu，T=Tu。显然，关闭的压缩机也不消耗功率。当压缩机（u,u）运行时，它在增加沿弧线方向流动的气体的压力与温度，即pupu，T，T u，于是有0 pu-pu(pmax-pmin)sa,Va=(u,u)E Ae,OT,-Tu(Tmax-Tmin)sa,Va=(u,u)E Ae。在压缩机打开的情况下，流量qa和功率N。分别有非零的正下界qamin和Nmin，以及相应的上界qmax和Nmax,即(13)NminsaNaNmaxsa,VaEAe.(14)此外，由于压缩机=（u,）EA e 本身的技术限制，其压缩气体的能力由压缩比po/pu的下界rmin与上界rmax所约束，即rminpu purmaxpu,Va=(u,u)E Ae.管网的运行成本主要为压缩机的燃料消耗，本文假设每台压缩机EAc的能耗成本系数ca0,并结合本节描述的天然气管网中各类约束条件，可得如下MINLP问题（P)：(P)s.t.(1)(7),(10)(15),Sa E0,1,Va EAco(11)(12)qninsa da0;ahh(-Dith min(ajlj,ajuil),ah0.若 ah 是整数变量,则可对该变量的界进一步圆整。如果线性约束形如=1 jaj,也有类似的结论。下面简要介绍一个例子来说明该技术的效果。例1对线性约束2 1-24应用(1 6)式，可得2 a19，-42 3。与原变量的上下界取交集，可得到1与2更紧的界2 15,023。2.2非线性约束的界增强方法下面我们将上述适用于线性约束的界增强推广至模型中的非线性约束（1 0）的一般形式，由此可对约束（1 0）中包含的变量进行界增强。定理1 设函数f(,）可表达成如下形式其中 g()是一元连续函数且反函数存在。考虑约束若g()单调递增，则r(y)max(0,f(c,y)r(y),lyu。28卷(16)1期f(a,y)=g(c)h(y),可得若g(c)单调递增，那么g-1(c)也单调递增，于是max(lyuh(y)若g(c)单调递减,同理有r(ymax(iyuh(y)下面以非线性约束（1 0）为例说明定理1 的作用。例2 当非线性约束（1 0）中的Rs，z a,c，n a d,a 以及已知（实际工业数据)，且式中包含的各变量的上下界均给定时，即R。=8.3 1，z a,c=1.0 0，n a d,a=0.8 9，k=1.3 0,0 Na1 000,8pu12,8 pu12,0 qa140,0 Tu50。对式(1 0)中的变量qa应用定理1，可得0.0 2 Qa83.17，与原边界取交集，在不改变问题可行域的前提下，可得到变量qa更紧的边界0.0 2 qa83.17。本文采用的求解问题（P）的主要思想为线性化方法，该线性化过程会引入较多的0-1变量。更紧的变量界信息能够使得线性近似模型更好地逼近MINLP模型。在分段线性化中，变量qa的区间0,1 40 划分为8 个区间，每个区间长度1 7.5。通过界增强后，区间0.02,83.17】划分为8 个区间后，每个区间长度1 0.3 9，更细的划分将更逼近原模型。2.3非线性界增强算法本节将第2.2 节中的界增强技术应用于天然气管网稳态运行优化问题。在介绍算法之前，利用定理1，我们给出变量q和Tu的上下界的表达式。因为约束（1 0）等式右边包含的项q与Tu均是一元连续函数且反函数存在，故约束（1 0）满足定理1 的条件，即可由该约束表示出变量qa与Tu更紧的上下界。令 f(da,Tu,Pu,Pa)=g(da)h(Tu,pu,pu),r(Na)=Nmax,其中天然气管网稳态运行优化模型的非线性界增强方法g(c),maxly Trin+e,则 A:=max(A,Trin-Tm),Tain=Tpn;步1 0end步1 1while e;算法1 中给出了流量变量和温度变量的界增强过程。用于记录一次外循环变量界变化的最大值。类似于线性界增强过程，非线性界增强也会出现改变量微小的情况2 0 ，因此我们在算法中引入=10-5，如例3。例3 考虑下述非线性约束条件：其中0,1,01。对变量 与进行界增强，由第一个约束得 eay+11+a,从而 ln(1a)，由第二个约束可得a(e-1),变量与的上界均被更新。对上述约束条件迭代进行t 次界增强后，有 ln(1+a2t-1)，y 2t，并且界增强过程可以无限进行下去。当t足够大时，两个变量界的改变非常微小。为了避免这种微小的改变量，我们引入容差=10-5，当相应变量界的变化超过预定义的容差时才更新边界2 0 。2.4求解问题（P）的算法框架本文采用的求解问题（P）的方法基于文献1 1 中的内容。首先对已给管网进行网络约简，得到相应的约简管网，采用的约简方法为用虚拟压缩机代替顺序相连的压缩机，该虚拟压缩机的行为表现为其组件以最佳方式运行。其次建立约简管网的MINLP模型，并对其进行线性化得到相应的MILP模型，采用的线性化方法为凸组合法，详细参见文献通过（1 8）式计算T.的下界和上界分别为TT：若 Tmax Tmax-e,则 :=max(,T ma x -T ma x),T ma x :=T ma x ;e*-ay-1 0,a(e-1)-y 0,u1期21。最后，调用求解器对 MILP模型进行求解。这里，对得到的约简管网的MINLP模型中的变量进行界增强，即调用算法1。基于以上步骤得出如下求解天然气管网稳态运行优化的算法2。算法2 求解问题(P）的算法框架步1 将管网分解成多个子网，每个子网只包含顺序相连的压气站；步2将每个子网替换为一个VCS节点，得到约简管网；步3建立约简管网的MINLP模型；步4对MINLP模型调用算法1;步5选择合适的离散点；步6分别基于步5中的每一组离散点，对每个子网进行优化；步7根据步6 得到的解，建立约简管网的MILP模型；步8调用合适的求解器对步7 得到的MILP模型进行求解；步9若满足停止条件，则停止计算；否则，转步5。天然气管网稳态运行优化模型的非线性界增强方法1093数值结果本节将界增强技术应用于我国西部天然气管网系统，并展示数值计算结果。本节中介绍的所有计算都是在 IntelCore i71.80 GHz 的处理器上完成的。在测试中，使用仿真软件优化子网，使用建模语言YALMIP22为约简管网构建MILP模型，调用CPLEX12.8.023求解问题。测试算例来源于文献1 1 ，如图1 所示，该测试管网由2 7 个压缩机站、3 2 条管道、6 4个节点和2 个循环组成。输气量为1.41 0 m/d,各节点的压力范围为8,1 2 （Mpa)，温度取值范围为0,50 （)。在图1 中，黑色梯形块符号代表的是压缩机，箭头表示的是气体的流动方向。图2 是应用网络约简得到的约简管网，可看到该约简管网包含5个子网。CS6 CS7 CS8CS1CS5CS9CS18图1测试管网建立约简管网的MINLP模型，使用算法2（记为“有界增强”）以及算法2 不执行步4（记为“无界增强”）求解该模型，并对比两种设置下的求解该问题结果。每次迭代中，均需选择离散区间的个数，并对每一子网进行优化。以上述测试管网为例，基于算法2 步骤5中离散点的选取，减小流量及温度变量的离散步长，旨在使近似模型更加逼近原模型，相应的数值结果如表1 所示。其中表1 的第一列为变量与T离散的区间个数；两类变量的离散区间数都选取了三个不同的值，并使其依次增大；表格的其余内容被分为两大类，分为有无界增强方法的结果，在每类中显示了相应算法设置对应的MILP模型得到的耗气量、运行时间以及得到最终结果所需的VCS2VCS1CS14CS17CS13CS27VCS4.VCS3VCS5图2 约简管网110区间个数q*T耗气量/(m3.d-1)8*222 599.528*622735.798*1222 935.8616*222 567.8716*622 721.6716*1222 929.9232*222 234.3532*622 357.7232*1222 699.35张晴，陈亮，艾文宝，寇彩霞表1 改变步长后MILP约简网络解的质量比较无界增强时间/s送代次数7.8854.8335.7557.3065.77362.31414.2684.70293.15528卷有界增强耗气量/(m3.d-1)时间/s送代次数22.086.852.5022.530.234.1922 693.734.4122053.903.8022307.069.5922566.9345.0422 091.727.1522131.449.5522 257.0153.37334365444迭代次数。在实验中，例3 所举实例在数值实验中有得到应用，即非线性界缩紧的容差为=10-5。由表1 可以看出，对比无界增强方法，有界增强方法的耗气量均比无界增强方法的耗气量少，即得到了更优的目标函数值。当变量取定离散区间个数后，随着变量T区间个数的增多，耗气量呈增长趋势，这是因为当区间个数增多时，MILP模型对非线性模型逼近得越好，进而松驰的MILP问题解在逐渐增大。但是当变量T取定离散区间个数后,随着变量q区间个数的增多，耗气量没有明显规律。这是因为CPLEX求解该模型没有求解到全局最优解，会有一定误差。在求解时间方面，区间个数越多，使用界增强方法求解MILP模型的速度越慢；而无界增强方法求解该模型没有明显规律。综上所述，第2.2 节中提出的非线性界增强方法可以有效地减少管网的耗气量，从而减少管网的运行成本。4总结与展望在本文中，我们针对天然气管网稳态运行优化问题建模成的混合整数非线性规划模型，提出了非线性界增强方法。该界增强方法能够缩紧变量的界，进而使得在线性化或离散化过程中更好地逼近原混合整数非线性规划模型。数值结果证明了能够得到更优的可行解，并且加快了天然气管网稳态运行优化问题的求解。不难发现，本文提出的非线性界增强方法在一般的混合整数非线性规划问题的求解过程中也适用，可以在其他实际应用问题或者标准测试集MINLPLIB*中进一步研究。参考文献1 Luongo C A,Gilmour B J,Schroeder D W.Optimization in natural gas transmission networks:a tool to improve operational efficiency C/The Third SIAM Conference on Optimization,Bosten,1989.2 Wong P J,Larson R E.Optimization of natural-gas pipeline systems via dynamic programmingJ.IEEE Transactions on Automatic Control,1968,13(5):475-481.3 Wong P J,Larson R E.Optimization of tree-structured natural-gas transmission networks J.Journal of Mathematical Analysis and 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