2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第八章-第三节圆-的-方-程.docx

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课时提升作业(五十二)
一、选择题
1.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部，则实数m的取值范围是( )

(C)-2＜m＜2 (D)0＜m＜2
2.(2021·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
(A)(-1，1) (B)(-1，0)
(C)(1，-1) (D)(0，-1)
3.(2021·北京模拟)直线l将圆x2+y2-2x+4y-4=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是( )
(A)x-y+1=0,2x-y=0
(B)x-y-1=0,x-2y=0
(C)x+y+1=0,2x+y=0
(D)x-y+1=0,x+2y=0
4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上全部的点均在其次象限内，则a的取值范围为( )
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)
(C)(1，+∞) (D)(2,+∞)
5.(2021·长春模拟)已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点，点N为圆(x+1)2+
(y+1)2=1上的动点，则|MN|的最小值是( )

6.(2021·三明模拟)直线x+y-=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角
为( )
(A) (B) (C) (D)
7.点P(4，-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
8.(力气挑战题)已知两点A(0，-3)，B(4，0)，若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为( )
(A)6 (B) (C)8 (D)
9.若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是M(1，2)，则直线PQ的方程是( )
(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0
(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0
10.过点A(11，2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有( )
(A)16条 (B)17条 (C)32条 (D)34条
二、填空题
11.圆C：x2+y2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是______.
12.(2021·青岛模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=______.
13.设二次函数与x轴正半轴的交点分别为A，B，与y轴正半轴的交点是C，则过A，B，C三点的圆的标准方程是______.
14.(2021·太原模拟)设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y=x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______.
三、解答题
15.(力气挑战题)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13；圆弧C2过点A(29,0).
(1)求圆弧C2的方程.
(2)曲线C上是否存在点P,满足？若存在,指出有几个这样的点；若不存在,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选C.由已知得m2+m2＜8，即m2＜4，解得-2＜m＜2.
2.【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径

当k=0时，
此时圆的方程为x2+y2+2y=0，
即x2+(y+1)2=1,∴圆心为(0，-1).
3.【解析】选C.由已知直线l过圆x2+y2-2x+4y-4=0的圆心(1，-2)，
当直线在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为y=kx，又过(1，-2)点，所以-2=k，得l的方程为y=-2x，即2x+y=0；
当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为(a≠0)，将(1，-2)代入得：a=-1，得l的方程为x+y+1=0.
综上l的方程为2x+y=0或x+y+1=0.
4.【解析】选D.曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a)，半径等于2的圆.由于圆上的点均在其次象限内，所以a＞2.
5.【解析】选C.圆心(-1，-1)与点M的距离的最小值为点(-1，-1)到直线的距离故点N与点M的距离的最小值
6.【解析】选C.圆心O到直线x+y-2=0的距离d=圆的半径r=2,
∴直线与圆相交的弦AB的长l=
故△OAB为正三角形，所得劣弧所对的圆心角为.
7.【解析】选A.设圆上任一点为Q(x0,y0)，PQ的中点为M(x，y)，则
又由于点Q在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4，即(2x-4)2+
(2y+2)2=4，即(x-2)2+(y+1)2=1.
8.【解析】选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为

即3x-4y-12=0，圆心C到直线AB的距离为
∴△ABP的面积的最小值为
9.【解析】选B.由圆的几何性质知kPQ·kOM=-1，
∵kOM=2,∴kPQ=-，
则PQ的直线方程为y-2=-(x-1)，
即x+2y-5=0.
10.【解析】选C.∵圆的标准方程为：(x+1)2+(y-2)2=132，则圆心为C(-1，2)，半径为r=13.∵|CA|=12，∴经过A点且垂直于CA的弦是经过A的最短的弦，其长度为=10；而经过A点的最长的弦为圆的直径2r=26；
∴经过A点且为整数的弦长还可以取11，12，13，14，…，25共15个值，又由圆内弦的对称性知，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则确定有2条，而最长的弦与最短的弦各只有1条，故一共有15×2+2=32(条).
11.【解析】由于圆心坐标为(-1,1)，所以圆心到直线3x+4y+14=0的距离为
答案:3
12.【解析】当有最大半径时有最大面积，此时k=0,r=1,∴直线方程为y=-x+2，设倾斜角为α,则由tan α=-1且α∈［0，π)得α=.
答案：
13.【思路点拨】先由已知求出A，B，C三点坐标，再依据坐标特点选出方程，求方程.
【解析】由已知三个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)，易知圆心横坐标为2，则令圆心为E(2，b)，由|EA|=|EC|得b=2，半径为故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
答案：(x-2)2+(y-2)2=5
14.【解析】由题意可设圆心A(a,a)，如图，则22+a2=2a2，解得a=±2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.

答案：(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8
15.【解析】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).
则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17)，令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),
又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225
(5≤x≤29).
(2)假设存在这样的点P(x,y)，则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0,
由解得x=-70(舍去).
由解得x=0(舍去)，
综上知，这样的点P不存在.
【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围，其错误缘由是将圆弧习惯认为或误认为圆.
【变式备选】如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上.
(1)求证：F＜0.
(2)若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且求D2+E2-4F的值.
(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H.试用平面解析几何的争辩方法推断点O，G，H是否共线，并说明理由.
【解析】(1)方法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0，于是有F＜0，即证.
方法二：由题意，不难发觉A，C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0)，则有ac＜0.对于圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F.
由于ac＜0,故F＜0.
(2)不难发觉，对角线相互垂直的四边形ABCD的面积
由于S=8，
|AC|=2，可得|BD|=8.
又由于所以∠BAD为直角，又由于四边形是圆M的内接四边形，故|BD|=2r=8⇒r=4.
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，
可知所以D2+E2-4F=4r2=64.
(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
则可得点G的坐标为
又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G，O，H三点共线，只需证即可.
而且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F.
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F.
所以即AB⊥OG.
故O，G，H三点必定共线.
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