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一、选择题
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A．y＝lg B．y＝x＋
C．y＝tan x D．y＝
解析 对于选项B，C，D，函数在定义域内是奇函数，但不是减函数．
答案 A
2．函数f(x)＝＋的定义域为 ( )
A．(0,2] B．(0,2)
C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]
解析 由题意知又x＞0，解得0＜x≤2且x≠1.
答案 C
3．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于 ( )
A．2 B．
C. D．a2
解析 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②
由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.
答案 B
4．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝3，则a＝ ( )
A．e B．
C．1 D．e或
解析 由于f(－1)＝－1＝2，
所以f(a)＝3－2＝1.
当a＞0时，|ln a|＝1，解得a＝e或；
当a＜0时，a＝1，无解．
答案 D
5．若0＜m＜1，则 ( )
A．logm(1＋m)＞logm(1－m) B．logm(1＋m)＞0
C．1－m＞(1＋m)2 D．(1－m)＞(1－m)
解析 若0＜m＜1，则f(x)＝logmx在定义域内单调递减，所以logm(1＋m)＜logm(1－m)，logm(1＋m)＜logm1＝0，选项A，B错误；(1＋m)2＞1＞1－m，选项C错误；0＜1－m＜1，所以f(x)＝(1－m)x在定义域内单调递减，所以(1－m)＞(1－m) ，选项D正确．
答案 D
6．函数f(x)＝的值域为 ( )
A．R B．
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 指数函数y＝x在定义域内单调递减，而2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以f(x)＝≥1＝.所以函数f(x)＝的值域为.
答案 B
7．函数f(x)＝的图象大致是 ( )
解析 f′(x)＝＝＝，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，所以f(x)＝在(－∞，0]，[2，＋∞)上单调递减，在[0,2]上单调递增．故选A.
答案 A
8．函数f(x)＝的零点个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 (1)当x≤0时，f(x)＝x2－2x－3，由f(x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.由于x≤0，所以x＝－1.
此时函数f(x)只有一个零点．
(2)当x＞0时，f(x)＝ln x－x2＋2x，令f(x)＝0，得ln x＝x2－2x，如图，分别作出函数y＝ln x与y＝x2－2x(x＞0)的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f(x)有两个零点．
综上，函数f(x)的零点有三个．故选D.
答案 D
9．偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 ( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析 ∵偶函数f(x)的定义域为R，在[0，＋∞)上单调递增，∴在区间(－∞，0]上，f(x)是减函数，f(－π)＝f(π)，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
答案 A
10．(2021·绵阳诊断)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，则 ( )
A．∀m∈A，都有f(m＋3)>0
B．∀m∈A，都有f(m＋3)<0
C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0
D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)<0
解析 由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，
且f(1)＝0，f(0)＝c<0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
当x>1时，f(x)>0.
由a>b，得1>，
设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，
则x1＋1＝－>－1，即x1>－2，
由f(m)<0可得－2<m<1，
所以1<m＋3<4，
由抛物线的图象可知，f(m＋3)>0，选A.
答案 A
11．方程＋ln＝0的解为x0，则x0所在的大致区间是 ( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
解析 设f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)．
当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，＞0，所以f(x)＞0，故函数在(1,2)内没有零点．
由于f(2)＝－ln 1＝1＞0，f(3)＝－ln 2＝，又＝2≈2.828，所以＞e，故ln e＜ln ，即1＜ln 8＝ln 2，所以2＜3ln 2，即f(3)＜0.
又f(4)＝－ln 3＝－ln 3＜0，
依据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2,3)上必存在一个零点x0，
即方程＋ln＝0的解x0∈(2,3)．故选B.
答案 B
12．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且函数f(x)为奇函数．给出下列结论：
①函数f(x)的最小正周期为4；
②函数f(x)的图象关于点(0,0)对称；
③函数f(x)的图象关于x＝2对称；
④函数f(x)的最大值为f(2)．
其中确定正确的命题序号是 ( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析 由f(x＋2)＋f(x)＝0，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴其最小正周期是4；由函数f(x)为奇函数，可知函数f(x)的图象关于点(0,0)对称；函数的轴对称性、最值无法作出推断．
答案 A
二、填空题
13．设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的最大值为________．
解析 函数f(x)图象的对称轴x＝－，
则函数f(x)在上单调递减，在区间上单调递增，所以2≤－，解得a≤－2.
答案 －2
14．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝1，则不等式f(x2－x)＜f(0)的解集为________．
解析 ∵y＝f(x)是R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝1，
∴f(0)＝0，当x＜0时，f(x)＝－1.
当x2－x＞0时，可得f(x2－x)＝1＞f(0)＝0，不满足条件；
当x2－x＝0时，可得f(x2－x)＝f(0)，不满足条件；
当x2－x＜0，即0＜x＜1时，f(x2－x)＝－1＜f(0)＝0，满足条件．综上，可得0＜x＜1.
答案 (0,1)
15.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
由图象得解得∴y＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，
∴0＝a(4－2)2－1，解得a＝.
综上，函数f(x)在[－1，＋∞)上的解析式为
f(x)＝
答案 f(x)＝
16．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m＝________，n＝________.
解析 由题意得－log2m＝log2n，＝n,0＜m＜1，n＞1.
∵函数f(x)＝|log2x|在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，0＜m2＜1，n＞1，∴f(x)在区间[m2，n]上的最大值在端点处取得，∴|log2m2|＝2或log2n＝2.
当|log2m2|＝2时，＝4，结合n＝，
解得n＝2，m＝，满足条件；
当log2n＝2时，n＝4，则m＝，
此时，f(x)在区间[m2，n]上的最大值为＝4，不满足条件．综上，m＝，n＝2.
答案 2
17．(2022·山东卷)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析 函数g(x)＝的图象是以坐标原点为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上方的部分．由题意可知，对任意x0∈I，都有h(x0)＋g(x0)＝2f(x0)，即(x0，f(x0))是点(x0，h(x0))和点(x0，g(x0))连线的中点，又h(x)＞g(x)恒成立，所以直线f(x)＝3x＋b与半圆g(x)＝相离且b＞0.
即
所以实数b的取值范围为(2，＋∞)．
答案 (2，＋∞)
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