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课时提升作业(八)
一、选择题
1.(2021·梧州模拟)若二次函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a等于( )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
2.(2021·河池模拟)设函数f(x)=则f()的值为( )
(A) (B)- (C) (D)18
3.已知f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值等于( )
(A)5 (B)-5 (C)6 (D)-6
4.若函数y=x2-2x+4的定义域和值域都是区间[2,2b],则b的值是( )
(A)b=1或b=2 (B)b=2
(C)b∈(1,2) (D)b∈[1,2)
5.设f(x)=x2+qx+q,若最小值为0,则q的值为( )
(A)0 (B)4 (C)0或4 (D)0或-4
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值是( )
(A)- (B)- (C) (D)-1
7.若不等式ax2-x+c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x+c的图象大致为
( )
8.若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是( )
(A)存在a∈R,f(x)是偶函数
(B)存在a∈R,f(x)是奇函数
(C)对于任意的a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数
(D)对于任意的a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数
9.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意实数x,恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是( )
(A)x>2 (B)x<-2或0<x<2
(C)-2<x<0 (D)无法确定
10.已知f(x)=x2+bx+c且f(-1)=f(3),则( )
(A)f(-3)<c<f()
(B)f()<c<f(-3)
(C)f()<f(-3)<c
(D)c<f()<f(-3)
11.(2021·南宁模拟)点M(a,b)在函数y=的图象上,点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上,则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )
(A)既没有最大值也没有最小值
(B)最小值为-3,无最大值
(C)最小值为-3,最大值为9
(D)最小值为-,无最大值
二、填空题
12.函数f(x)=x2-2x-3的单调递减区间是 .
13.二次函数y=f(x)的图象如图所示,那么此函数的解析式为 .
14.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a<b<3)上有最大值9,最小值-7,则a= ,b= .
15.(力气挑战题)假如函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
16.(力气挑战题)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值和最小值.
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
答案解析
1.【解析】选C.∵f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a),
x2+(a-1)x-a=x2-(a-1)x-a,
∴(a-1)x=0,∴a-1=0,即a=1.
2.【解析】选A.f(2)=22+2-2=4,
所以f()=f()=1-()2=,故选A.
3.【解析】选C.∵f(1)=0,f(2)=0,
∴
∴
∴f(x)=x2-3x+2,∴f(-1)=6.
4.【解析】选B.f(x)=x2-2x+4=(x-2)2+2≥2(x=2时等号成立),依题意,令f(2b)=2b,解得,b=1(不合题意,舍去)或b=2,故选B.
5.【解析】选C.∵f(x)min=0,
∴=0,即q2-4q=0.
解得q=0或q=4.
6.【解析】选A.由f(x+2)=3f(x),
当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,
当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为-1,
所以,当x∈[-4,-2]时,x+4∈[0,2],
所以当x+4=1即x=-3时f(x)有最小值,
即f(-3)=f(-3+2)=f(-1)
=f(1)=-.
7.【解析】选B.由题意知-2和1是一元二次方程ax2-x+c=0的两根,∴-2+1=,-2×1=,易得a=-1,c=2.函数y=-x2-x+2的图象开口向下,与x轴交点的横坐标为x1=-2,x2=1,故选B.
【方法技巧】三个二次间的关系
解一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0反映的数量关系就是考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根的状况,反映到图象上就是考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴之间的关系.
8.【解析】选A.依次推断各选项,易知只有A中当a=0时,函数为偶函数,为真命题,故选A.
9.【解析】选C.由已知得函数f(x)在(-∞,2]上为减函数,在[2,+∞)上为增函数.
又1-2x2≤1,-x2+2x+1=-(x-1)2+2≤2,
∴f(1-2x2)<f(1+2x-x2)可化为1-2x2>1+2x-x2,得-2<x<0.
10.【解析】选D.由已知可得二次函数图象关于直线x=1对称,又f(-3)=f(5),c=f(0)=f(2),二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有f(-3)=f(5)>f()>f(2)=f(0)=c,故选D.
11.【解析】选D.由已知b=,即ab=1,
又∵点N(-a,b)在直线x-y+3=0上,
∴-a-b+3=0,即a+b=3.
∴f(x)=abx2+(a+b)x-1=x2+3x-1
=(x+)2-.
又x∈[-2,2),故f(x)min=-,但无最大值.
12.【解析】∵函数f(x)=x2-2x-3的二次项的系数大于零.
∴抛物线的开口向上,
∵二次函数的对称轴是x=1,
∴函数的单调递减区间是(-∞,1).
答案:(-∞,1)
13.【解析】方法一:由图可知已给出二次函数y=f(x)上的三点(-2,0),(2,0),(0,3).
故可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
列方程组即可求得a=-,b=0,c=3.
所以此函数的解析式为y=-x2+3.
方法二:留意到题设给出了二次函数y=f(x)与x轴的两个交点(-2,0),(2,0).
故可设f(x)=a(x+2)(x-2)(a≠0).
将(0,3)点代入,可得a=-.
所以此函数的解析式为y=-x2+3.
方法三:留意到题设给出了二次函数y=f(x)的顶点(0,3),故可设f(x)=a(x-0)2+3(a≠0),
将(2,0)点代入,可得a=-.
所以此函数的解析式为y=-x2+3.
答案:y=-x2+3
【变式备选】已知二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根的平方和为10,图象过点(0,3).
(1)求f(x)的解析式.
(2)若函数f(x)≥8在[a,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(x+2)=f(2-x)知,该函数图象关于直线x=2对称,
∴-=2,即b=-4a. ①
又∵图象过(0,3)点,
∴c=3. ②
设f(x)=0的两实数根为x1,x2,
则由题意得+=(x1+x2)2-2x1x2
=(-)2-=10,
∴b2-2ac=10a2, ③
由①②③得a=1,b=-4,c=3.
故f(x)=x2-4x+3.
(2)由f(x)=8,即x2-4x+3=8,
解得x=-1或x=5.
∵二次函数图象开口向上,对称轴为x=2,
∴要使f(x)≥8在[a,+∞)上恒成立,则必有a≥5.
故a的取值范围是[5,+∞).
14.【解析】∵y=-x2+6x+9=-(x-3)2+18,
∴二次函数图象是开口向下,对称轴为x=3的抛物线,
又∵a<b<3,
∴二次函数在[a,b]上是增函数,
∴当x=b时,ymax=-b2+6b+9=9,即b2-6b=0,
解得b=0或b=6(舍去),∴b=0.
当x=a时,ymin=-a2+6a+9=-7,
即a2-6a-16=0,
解得a=-2或a=8(舍去),∴a=-2.
答案:-2 0
【变式备选】设函数f(x)=-x2+4ax-3a2.
(1)当a=1,x∈[-3,3]时,求函数f(x)的取值范围.
(2)若0<a<1,x∈[1-a,1+a]时,-a≤f(x)≤a恒成立,试确定a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=-(x-2)2+1,
x∈[-3,3]时,f(x)max=f(2)=1,
f(x)min=f(-3)=-24,
故此时函数f(x)的取值范围为[-24,1].
(2)∵f(x)=-x2+4ax-3a2
=-(x-2a)2+a2,
且当0<a<时,1-a>2a,
∴f(x)在区间[1-a,1+a]内单调递减.
f(x)max=f(1-a)=-8a2+6a-1,
f(x)min=f(1+a)=2a-1.
∵-a≤f(x)≤a,
∴此时,a∈∅,
当≤a<1时,f(x)max=f(2a)=a2.
∵-a≤f(x)≤a,
∴
解之得,≤a≤.
综上可知,实数a的取值范围为[,].
15.【解析】(1)当a=0时,f(x)=2x-3在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;
(2)当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为直线x=-,由于f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0.综上所述-≤a≤0.
答案:[-,0]
16.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5].
作y=f(x)的图象如图所示,
由图可知:
当x=1时,f(x)的最小值为1,
当x=-5时,f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a,
∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,
∴-a≤-5或-a≥5.
故a的取值范围是a≤-5或a≥5.
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