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课时提升作业(二十九)
一、选择题
1.已知m∈R,复数-的实部和虚部相等,则m= ( )
(A) (B)2 (C)-1 (D)-2
2.(2021·深圳模拟)已知复数z=1-2i,那么= ( )
(A)+i (B)-i
(C)+i (D)-i
3.(2021·佛山模拟)已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面上对应的点位于 ( )
(A)第一象限 (B)其次象限
(C)第三象限 (D)第四象限
4.已知复数z=1+i,则等于 ( )
(A)2i (B)-2i
(C)2 (D)-2
5.(2021·广州模拟)已知复数a+bi=i(1-i)(其中a,b∈R,i是虚数单位),则a+b的值为 ( )
(A)-2 (B)-1
(C)0 (D)2
6.(2021·珠海模拟)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是 ( )
(A)E (B)F (C)G (D)H
7.设0<θ<,a∈R,(a+i)(1-i)=cosθ+i,则θ的值为 ( )
(A)π (B)π
(C) (D)
8.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不行能位于 ( )
(A)第一象限 (B)其次象限
(C)第三象限 (D)第四象限
9.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,则的最大值是 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.(力气挑战题)若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为 ( )
(A)2kπ-,k∈Z (B)2kπ+,k∈Z
(C)2kπ±,k∈Z (D)π+,k∈Z
二、填空题
11.若(1+ai)2=-1+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则|a+bi|= .
12.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是 .
13.(力气挑战题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部的最大值为 ,虚部的最大值为 .
14.若复数z=cosθ+isinθ且z2+=1,则sin2θ= .
三、解答题
15.(力气挑战题)已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
答案解析
1.【解析】选A.-=-=+i.由-的实部和虚部相等,则=,即m=.
2.【解析】选D.==
==-i.
3.【解析】选D.z=z1·z2=(2+i)(1-i)=3-i,所以z在复平面上对应的点(3,-1)在第四象限,故选D.
4.【解析】选A.===2i.
【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值
为 ( )
(A)4 (B)4+4i
(C)-4 (D)2i
【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i,
得x=3,y=1,
∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.
5.【解析】选D.a+bi=i(1-i)=1+i,
∴a=1,b=1,∴a+b=2.
6.【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),选D.
7.【解析】选D.由条件得a++(-a)i
=cosθ+i,
∴
解得cosθ=.又0<θ<,∴θ=.
8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行推断.
【解析】选A.z===+i,明显>0与->0不行能同时成立,则z=对应的点不行能位于第一象限.
【一题多解】选A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不行能位于第一象限.
【方法技巧】复数问题的解题技巧
(1)依据复数的代数形式,通过其实部和虚部可推断一个复数是实数,还是虚数.
(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可推断出其对应点在复平面上的位置.
9.【解析】选D.∵|x-2+yi|=,∴(x-2)2+y2=3,
即(x,y)在以C(2,0)为圆心、以为半径的圆上.
如图,由平面几何和直线的斜率学问知≤,即的最大值为,选D.
10.【解析】选B.由题意,得
解得
∴θ=2kπ+,k∈Z.
11.【解析】∵(1+ai)2=-1+bi,
∴1-a2+2ai=-1+bi,
∴
解得或
∴|a+bi|===.
答案:
12.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.
答案:-1-(-1)i
13.【解析】z1·z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).
实部为cosθsinθ+1=1+sin 2θ≤,
所以实部的最大值为.
虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,
所以虚部的最大值为.
答案:
14.【解析】z2+=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1⇒cos 2θ=,所以sin2θ==.
答案:
【方法技巧】解决复数中的三角函数问题的技巧
解决复数与三角函数相结合的问题时,一般先依据复数的运算把复数化为代数形式,然后依据复数相等的概念得到复数的实部、虚部间的关系,利用题中的条件把问题转化为三角函数问题解决.
15.【思路点拨】(1)把b代入方程,依据复数的实部、虚部等于0解题即可.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),依据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,依据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
∴
解得a=b=3.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),
由|-3-3i|=2|z|,
得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),
即(s+1)2+(t-1)2=8,
∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,
当Z点在OO1的连线上时,
|z|有最大值或最小值.
∵|OO1|=,
半径r=2,
∴当z=1-i时,
|z|有最小值且|z|min=.
【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则z+=a+bi+
=a(1+)+b(1-)i.
又z+3=a+3+bi,z+是实数,
依据题意有
∵b≠0,
∴
解得或
∴z=-1-2i或z=-2-i.
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