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课时提升作业(十一)
一、选择题
1.(2021·莆田模拟)函数f(x)=log4x-的零点所在的区间是( )
(A)(0,1］ (B)(1,2］
(C)(2,3］ (D)(3,4］
2.用二分法争辩函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,其次次应计算 ,以上横线应填的内容为( )
(A)(0,0.5) f(0.25) (B)(0,1) f(0.25)
(C)(0.5,1) f(0.75) (D)(0,0.5) f(0.125)
3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系
是( )
(A)x1<x2 (B)x1>x2
(C)x1=x2 (D)不能确定
4.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
5.(2021·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-
lnx的零点个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )
(A)4 (B)2
(C)-4 (D)与m有关
7.方程|x|=2πcosx在(-∞,+∞)内( )
(A)有且仅有2个根 (B)有且仅有4个根
(C)有且仅有6个根 (D)有无穷多个根
8.若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )
(A)m≤-1 (B)m≥1
(C)-1≤m<0 (D)0<m≤1
9.(2021·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=
(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( )
(A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}
(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)
10.(力气挑战题)已知函数f(x)=2x-，实数a,b,c满足a<b<c，且满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y=f(x)的一个零点，则下列结论确定成立的是( )
(A)x0>c (B)x0<c
(C)x0>a (D)x0<a
二、填空题
11.(2021·宁德模拟)若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分_______次.
12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*，则a+b=_______.
13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是 .
14.(力气挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时，f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为 .
三、解答题
15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)推断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出推断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.
答案解析
1.【解析】选B.f(x)在(0,+∞)上是连续函数,且
2.【解析】选A.依据二分法求零点的步骤知,选A.
3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x1<x2.
4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=ln x图象的交点个数.
【解析】选C.在同始终角坐标系中，作出函数y=|x-2|与y=ln x的图象如图，从图中可知，两函数共有2个交点，∴函数f(x)的零点的个数为2.
5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即
sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1,
∴x=e或x=1或x=.
6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图象关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.
7.【解析】选C.考虑函数y=|x|与y=2πcosx的图象在[0,+∞)的交点状况,在同一坐标系中作函数y=|x|与y=2πcosx在[0,+∞)的图象如图所示,由图象知,有3个交点,从而原方程有6个根.
8.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.
∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,∴m∈[-1,0).
9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,
∴f(x)=
函数f(x)的图象如图所示,
由图象知,当c<-1或-<c<0时,
函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.
10.【解析】选C.由于函数f(x)=2x-为增函数，故若a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0,则有如下两种状况：①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c),又x0是函数的一个零点，即f(x0)=0,故当f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)时，由单调性可得x0>a,又当f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)时，也有x0>a，故选C.
11.【解析】依据二分法，每二等分一次，区间长度变为原来的
设经过n次二等分得区间长度为
∴n≥7.
答案：7
12.【解析】由已知x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*，
∴a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3，….
又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0，
∴f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.
又∵f(x)为增函数，当x取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，
∴a=1,b=2.∴a+b=1+2=3.
答案：3
13.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,
∴m的取值集合是{-3,0,1}.
答案:{-3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.依据原式将f(x)误认为是二次函数.
14.【思路点拨】依据周期性画函数f(x)的图象,依据对称性画函数g(x)的图象,留意定义域.
【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.
答案:8
15.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.
(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需
即解得<a<.
【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,
当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=2或m=-2.
又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点,
∴这种状况不符合题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.
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