资源描述
2.2.3 两条直线的位置关系
【课时目标】 1．把握求两条直线交点的方法．2．把握判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法争辩几何问题的解析思想．
1．两条直线的交点
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l1：A2x＋B2y＋C2＝0．
若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线________，交点坐标为__________．
2．不重合的两直线l1与l2平行与垂直的结论：
平行l1∥l2
垂直l1⊥l2
倾斜角相等
倾斜角的差为90°
斜率
存在
斜率
不存在
斜率
存在
斜率
不存在
斜截式
l1∶y＝k1x＋b1
l2∶y＝k2x＋b2
k1＝k2，
且b1≠b2
两直线均与x
轴垂直
k1k2＝－1
一条直线
斜率不存
在，同时
另一条直
线斜率等
于零
一般式
l1∶A1x＋
B1y＋C1＝0
l2∶A2x＋
B2y＋C2＝0
＝≠
(A2B2C2≠0)
B1＝
B2＝0
且≠
·
＝－1
A1＝B2＝0或
A2＝B1＝0
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
A1A2＋B1B2＝0
一、选择题
1．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上答案均不对
5．已知直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，则m的值是( )
A．m＝3 B．m＝0
C．m＝0或m＝3 D．m＝0或m＝－1
6．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A． B． C．－ D．－
二、填空题
7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
8．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．
9．有以下几种说法：(l1、l2不重合)
①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；
②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；
④只有斜率相等的两条直线才确定平行．
以上说法中正确的个数是________．
三、解答题
10．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．
11．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
力气提升
12．一束平行光线从原点O(0,0)动身，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
1．判定两直线的位置关系应从平行、相交、重合三个方面考虑，防止漏掉重合这种状况．
2．利用直线方程判别直线的位置关系时，首先考虑两直线的斜率是否存在，若都不存在，则两直线平行或重合；若一条直线斜率存在，另一条不存在，则两直线相交；若两条直线斜率都存在，可利用斜率k1与k2是否相等，在y轴上的截距b1与b2是否相等进行分类推断．
3．充分运用直线的平行性，求相互平行的直线方程．
如与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋D＝0 (C≠D)；与直线y＝kx＋b平行的直线，可设为y＝kx＋m (m≠b)．
2．2．3 两条直线的位置关系 答案
学问梳理
1．相交 (x0，y0)
作业设计
1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]
2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再依据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0．]
3．B [首先联立，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1．]
4．C [2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝
得m＝±6．]
5．D [l1∥l2，则1·3m＝(m－2)·m2，
解得m＝0或m＝－1或m＝3．
又当m＝3时，l1与l2重合，
故m＝0或m＝－1．]
6．D [设直线l与直线y＝1的交点为A(x1,1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，由于M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得x2＝4，由于点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－．故选D．]
7．2
解析 首先解得方程组的解为，代入直线y＝3x＋b得b＝2．
8．8x＋16y＋21＝0
9．2
解析 ①③正确，②④不正确，l1或l2可能斜率不存在．
10．解
如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C．
由已知得，直线DE的斜率
kDE＝＝，
所以kAB＝．
由于直线AB过点F，所以直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，即4x－5y＋14＝0． ①
由于直线AC经过点E(3,1)，且平行于DF，
同理可得直线AC的方程
5x－y－14＝0． ②
联立①，②，解得点A的坐标是(4,6)．
同样，可以求得点B，C的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．
因此，△ABC的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4)．
11．解
如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．
由，得，
故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1，(也可得B关于y＝0的对称点(1，－2)．
∴AC方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，
∴BC的方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
12．解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3．
由方程组，解得，
∴反射光线与直线l的交点坐标为．
13．解
∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD∥BC，AD⊥AB，
⇒
∴．综上或．
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