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专题 离散型随机变量及其分布列(一) 课后练习
主讲老师：王春辉一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是( )
A. B.
C. D.
题一： 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列.
(2)求X的数学期望E(X).
题二： 第26届世界高校生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳进行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm)：若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担当“礼仪小姐”.
(Ⅰ)假如用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(Ⅱ)若从全部“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担当“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.
题三： 为了解甲、乙两厂的产品质量，接受分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
169
178
166
175
180
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估量乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).
题四： 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参与一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
题五： 袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数ξ的概率分布列．
题六： 一条生产线上生产的产品按质量状况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发觉其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量状况互不影响．
(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．
题七： 甲、乙两人参与2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算接受现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；
(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
题八： 如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.
题九： 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；
(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
专题 离散型随机变量及其分布列(一)
课后练习参考答案
题一： C.
详解：
{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，
故P(X＝4)＝＝ .
题二： (1)X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2).
详解：(1)X=3，4，5，6，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2)X的数学期望E(X)=.
题三： (Ⅰ)．
(Ⅱ)的分布列如下：
期望为1.
详解： (Ⅰ)依据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．
用大事表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立大事表示“没有一名“高个子”被选中”，
则 ．……5分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是．
(Ⅱ)依题意，的取值为．
， ，
， ．
因此，的分布列如下：
．
题四： (1)35(件)；(2)14(件)；
(3)分布列为
0
1
2
P
数学期望E()=.
详解：(1)由题意知，抽取比例为，则乙厂生产的产品数量为(件)；
(2)由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估量乙厂生产的优等品的数量为(件)；
(3)由(2)知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.的取值为0，1，2.
P(=0)=， P(=1)=， P(=2)=.
从而分布列为
0
1
2
P
数学期望E()=.
题五： (1) .
(2)
详解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝.
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列为
题六：
详解：得分ξ的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(ξ＝－3)＝＝；
ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(ξ＝－2)＝＝；
ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，
∴P(ξ＝－1)＝＝；
ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(ξ＝2)＝＝；
ξ＝3时表示取得3个白球，
∴P(ξ＝3)＝＝；
∴所求概率分布列为
题七： (1) 0.9.
(2)
ξ
0
1
2
3
p
0.729
0.243
0.027
0.001
详解：
(1)设Ai表示大事“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，
i＝1，2.
Bi表示大事“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，
i＝1，2.
C表示大事“一次抽检后，设备不需要调整”．
则C＝A1·A2＋A1·B2＋B1·A2.
由已知P(Ai)＝0.9，P(Bi)＝0.05 i＝1， 2.
所以，所求的概率为
P(C)＝P(A1·A2)＋P(A1·B2)＋P(B1·A2)
＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.
(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为
p＝P()＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B(3，0.1)，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
0.729
0.243
0.027
0.001
题八：
(1)
ξ
0
1
2
3
P
(2)
详解：
(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
(2)设甲、乙两人考试合格的大事分别为A、B，则
P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
法一：由于大事A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P＝P·P
＝＝，
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P＝P＋P＋P
＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
题九： .
详解：由已知ξ的取值为7，8，9，10，
∵P(ξ＝7)＝＝，
P (ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列为
ξ
7
8
9
10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.
题十： (Ⅰ)
(Ⅱ)
0
1
2
3
(Ⅲ) .
详解： (Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的大事为
大事等于大事 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
(Ⅱ) 由题可知可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
0
1
2
3
故的分布列为
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的大事为
大事等于大事“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，.
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