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导读
复习总结：导数应用
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.
2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；把握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简洁函数的导数.
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．
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导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.
典型例题
例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解 ∵Δy=
变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.
解
例2. 求下列各函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
解 (1)∵
∴y′
（2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
方法二 =
=（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.
（3）∵y=
∴
（4） ，
∴
变式训练2：求y=tanx的导数.
解 y′
例3. 已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率k=|=.
∴切线方程为即
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .
答案 2或
例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
（1）解 ，
于是解得或
由于a,bZ，故
（2）证明 在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令x=1，得，切线与直线x=1交点为．
令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2.
变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ①
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0. ②
∴f（x）=ax4+cx2+1.
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.
∴a+c+1=-1. ③
∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④
由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为
小结归纳
1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.
3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.
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