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第8讲 函数的图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③争辩函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其留意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|．
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
→
y＝af(x)．
[做一做]
1．函数y＝x|x|的图象经描点确定后的外形大致是( )
答案：A
2．为了得到函数y＝4×()x的图象，可以把函数y＝()x的图象向________平移________个单位长度．
答案：右 2
1．辨明两个易误点
(1)在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避开出错．
(2)明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．
2．会用两种数学思想
(1)数形结合思想
借助函数图象，可以争辩函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以推断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．
(2)分类争辩思想
画函数图象时，假如解析式中含参数，还要对参数进行争辩，分别画出其图象．
[做一做]
3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析：选D.曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.
4．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x，
令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
,[同学用书P33～P34])
__作函数的图象________________________
作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋2；
(2)y＝|lg x|；
(3)y＝.
[解] (1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．
(2)y＝图象如图所示．
(3)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
[规律方法] 画函数图象的一般方法：
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是生疏的基本函数或解析几何中生疏的曲线时，可依据这些函数或曲线的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要留意变换挨次，对不能直接找到生疏函数的要先变形，并应留意平移变换与伸缩变换的挨次对变换单位及解析式的影响．
(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可接受描点法．为了通过描少量点，就能得到比较精确 的图象，经常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．
1.作出函数y＝10|lg x |的图象．
解：当x≥1时，lg x≥0，y＝10|lg x|＝10lg x＝x；
当0＜x＜1时，lg x＜0，
y＝10|lg x|＝10－lg x＝10lg＝.
∴y＝
这是分段函数，每段函数的图象可依据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．
__识图与辨图__________________________
(1)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
(2)(2021·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln的图象是( )
[解析] (1)当a>1时，A中的直线位置错误，排解A；D中的三个函数图象都正确；当0<a<1时，B中的直线位置错误，排解B；C中的直线与指数函数的图象都错误，排解C.故选择D.
(2)自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1<x<0，即函数f(x)的定义域是(－1，0)∪(1，＋∞)，据此排解选项A、D.函数y＝x－单调递增，故函数f(x)＝ln在(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.
[答案] (1)D (2)B
[规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，推断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，推断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排解不合要求的图象．
2.(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
(2)在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，现将y＝g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线，如图，则函数y＝f(x)的表达式为________．
解析：(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后依据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最终由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
(2)设经过两次平移后所得图象对应的函数为h(x)，则
h(x)＝
∴g(x)＝
∴f(x)＝
答案：(1)A (2)f(x)＝
__函数图象的应用(高频考点)____________
函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式毁灭．
高考对图象应用问题的考查主要有以下五个命题角度：
(1)争辩两图象的交点个数；
(2)利用函数的图象确定方程根的个数；
(3)利用函数图象争辩函数性质；
(4)利用函数图象争辩不等式的解；
(5)利用函数的图象求参数的取值范围．
(1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( )
A．10个 B．9个
C．8个 D．1个
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0，1) D．(－∞，＋∞)
(3)函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．
[解析] (1)在同始终角坐标系中，分别作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点．
(2)x≤0时，f(x)＝2－x－1，0<x≤1时，－1<x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x>0时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)，故选A.
(3)
作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
[答案] (1)A (2)A (3)(－∞，－1) (－1，＋∞)
[规律方法] (1)利用函数的图象争辩函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象争辩，但确定要留意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象争辩方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来争辩方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．
(3)利用函数的图象争辩不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
3.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)依据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)依据图象写出不等式f(x)＞0的解集；
(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．
解：(1)∵f(4)＝0，
∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|4－x|
＝
f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．
(4)由图象可知，f(x)＞0的解集为{x|0＜x＜4或x＞4}．
(5)∵f(5)＝5＞4，
∴由图象知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．
,[同学用书P35])
方法思想——数形结合思想求参数的范围
(2022·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1，2) D．(2，＋∞)
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数形结合思想
[解析] 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.
[答案] B
[名师点评] (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．本题首先作出f(x)＝|x－2|＋1的图象，再作出g(x)＝kx的图象，利用图象的交点状况确定k的取值范围．
(2)有关恒成立问题，求方程根的个数问题常用数形结合思想求解．
对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－1，1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1，2]
C．(－∞，－2)∪(1，2] D．[－2，－1]
解析：选B.∵a⊗b＝
∴函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)
＝
结合图象可知，当c∈(－2，－1]∪(1，2]时，函数f(x)与y＝c的图象有两个公共点，
∴实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1，2]．
1．函数y＝的图象大致是( )
解析：选B.当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
2．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.由于f(x)＝－x是奇函数，所以图象关于坐标原点对称．
3．(2021·河北唐山高三月考)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上全部的点( )
A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位
解析：选A.y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象．
4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析：选C.要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，依据上述步骤可知C正确．
5．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉确定值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观看图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
6．(2021·石家庄二中月考)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数f(4－x)的图象确定经过点________．
解析：由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位得到．点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1)．
答案：(3，1)
7．函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________．
解析：由题图可知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.
答案：0
8．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝.
解：(1)函数式可化为y＝其图象如下图实线所示：
(2)y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到，如图所示．
10．已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
1．(2021·山东滨州模拟)函数y＝(x∈(－π，0)∪(0，π))的图象大致是( )
解析：选A.函数为偶函数，所以图象关于y轴对称，排解B，C，当x→π时，y＝→0.
2．(2021·东北三校第一次联合模拟)已知函数f(x)＝的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，]
C．[1，2] D．[，2]
解析：选B.先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再争辩f(x)＝x3－3x＋2，0≤x≤a的图象．令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴当x＝1时，f(x)在0≤x≤a有最小值f(1)＝0，又f()＝2.∴1≤a≤.故选B.
3．已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．
①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；
④y＝f(－|x|)．
解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故选④.
答案：④
4．已知m，n分别是方程10x＋x＝10与lg x＋x＝10的根，则m＋n＝________．
解析：在同一坐标系中作出y＝lg x，y＝10x，y＝10－x的图象，设其交点为A，B，如图所示．设直线y＝x与直线y＝10－x的交点为M，联立方程解得M(5，5)．
∵函数y＝lg x和y＝10x的图象关于直线y＝x对称．
∴m＋n＝xA＋xB＝2xM＝10.
答案：10
5．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，依据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)，∴当x＝0时，f(x)＝0.
又当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
∴函数的解析式为f(x)＝
作出函数的图象如图．
依据图象可得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1，0)，(0，1)．
6．(选做题)(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；
(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．
解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，
则y0＝f(x0)．
又P点关于x＝m的对称点为P′，
则P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得
f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]
＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．
(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．
∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，
即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．
又∵a≠0，
∴2a－1＝0，得a＝.
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