资源描述
1．函数y＝的图象大致是( )
解析：选B.当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
2．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.由于f(x)＝－x是奇函数，所以图象关于坐标原点对称．
3．(2021·河北唐山高三月考)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上全部的点( )
A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位
解析：选A.y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象．
4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析：选C.要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，依据上述步骤可知C正确．
5．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉确定值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观看图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
6．(2021·石家庄二中月考)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数f(4－x)的图象确定经过点________．
解析：由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位得到．点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1)．
答案：(3，1)
7．函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________．
解析：由题图可知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.
答案：0
8．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝.
解：(1)函数式可化为y＝其图象如下图实线所示：
(2)y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到，如图所示．
10．已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
1．(2021·山东滨州模拟)函数y＝(x∈(－π，0)∪(0，π))的图象大致是( )
解析：选A.函数为偶函数，所以图象关于y轴对称，排解B，C，当x→π时，y＝→0.
2．(2021·东北三校第一次联合模拟)已知函数f(x)＝的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，]
C．[1，2] D．[，2]
解析：选B.先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再争辩f(x)＝x3－3x＋2，0≤x≤a的图象．令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴当x＝1时，f(x)在0≤x≤a有最小值f(1)＝0，又f()＝2.∴1≤a≤.故选B.
3．已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．
①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；
④y＝f(－|x|)．
解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故选④.
答案：④
4．已知m，n分别是方程10x＋x＝10与lg x＋x＝10的根，则m＋n＝________．
解析：在同一坐标系中作出y＝lg x，y＝10x，y＝10－x的图象，设其交点为A，B，如图所示．设直线y＝x与直线y＝10－x的交点为M，联立方程解得M(5，5)．
∵函数y＝lg x和y＝10x的图象关于直线y＝x对称．
∴m＋n＝xA＋xB＝2xM＝10.
答案：10
5．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，依据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)，∴当x＝0时，f(x)＝0.
又当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
∴函数的解析式为f(x)＝
作出函数的图象如图．
依据图象可得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1，0)，(0，1)．
6．(选做题)(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；
(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．
解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，
则y0＝f(x0)．
又P点关于x＝m的对称点为P′，
则P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得
f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]
＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．
(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．
∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，
即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．
又∵a≠0，
∴2a－1＝0，得a＝.
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