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第三章 三角恒等变换（B）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )
A．0 B． C． D．1
2．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
3．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )
A． B．7 C．－ D．－7
4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－] B．[－，－]
C．[－，0] D．[－，0]
5．化简：的结果为( )
A．1 B． C． D．tan θ
6．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
7．若函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a等于( )
A．1 B． C．2 D．3
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是( )
A．[－，]
B．[－＋，＋]
C．[－，]
D．[－－，－]
9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )
A．－ B． C．－ D．
10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( )
A．±4 B．4 C．－4 D．1
11．若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边确定落在直线( )上．
A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0
C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝0
12．使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的θ的值为( )
A．－ B．－ C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是____________．
14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________．
15．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝________．
16．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos(2α－)的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
19．(12分)已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[－，]．
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
20．(12分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．
(1)求角B；
(2)求sin(B＋θ)．
21．(12分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为．
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
答案
1． D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]
2． D [f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)
＝－cos 2x，
∴T＝＝π，f(x)为偶函数．]
3． A [∵α∈(，π)，sin α＝，
∴cos α＝－，
tan α＝＝－.
∴tan(α＋)＝＝＝.]
4． D [f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
令k＝0得－≤x≤.
由此可得[－，0]符合题意．]
5． B [原式＝＝
＝sin 60°＝.]
6． C [f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2x2＋2，
∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.]
7． B [f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)
＝sin(x＋)－acos(＋x)
＝sin(x＋－φ)
∴f()＝sin ＋asin
＝a＋＝.
解得a＝.]
8． B [y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin(2x－)＋，
∵x∈R，
∴－1≤sin(2x－)≤1，
∴y∈[－＋，＋]．]
9． B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.
cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ
＝
＝＝＝.]
10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β
＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，
∴tan(α＋β)tan α＝－4.]
11．D [cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，
∴tan θ＝＝＝.
∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．]
12．D [∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0.
∴tan θ＝－.∴θ＝kπ－，(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin 2x.
∵f(x)在[－，0]上为减函数，
∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝.]
13．
解析 ∵f(x)＝[1－cos(4x－)]
＝－sin 4x
∴T＝＝.
14．1
解析 ∵sin αcos β＝1，
∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，
∴cos α＝sin β＝0.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.
15．
解析 cos β＝－，sin β＝，
sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，
故cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝(－)×(－)＋×＝.
16．1
解析 令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，
∴y＝sin α＋cos(α＋30°)
＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°
＝sin α＋cos α
＝sin(α＋60°)．
∴ymax＝1.
17．解 (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)
⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝.
＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝⇒sin 2α＝－，cos 2α＝－.
cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
18．解 (1)原式＝sin 2x＋cos 2x
＝2(sin 2x＋cos 2x)
＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )
＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.
(3)要使f(x)递增，必需使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
19．解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos x|，
∵x∈[－，]，∴cos x>0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝2(cos x－)2－.
∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.
20．解 (1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，
即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝.
又B为△ABC的内角，
∴B＝60°.
(2)∵cos θ＝＝－，
∴sin θ＝.
∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
21．解 (1)由题意，得m·n＝0，所以
f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋
＝sin(2ωx＋)＋.
依据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，所以f(α＋)
＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝.
解得cos α＝.
由于α是第一象限角，故sin α＝.
所以＝＝
＝＝－.
22．解 (1)由于f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，
所以＝cos(2×－φ)，
即cos(－φ)＝1，
又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
由于x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，
故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.
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