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第10讲 函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
[做一做]
1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100 ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
2．生产确定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为猎取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：选B.利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
1．辨明两个易误点
(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
(2)留意问题反馈．在解决函数模型后，必需验证这个数学结果对实际问题的合理性．
2．理解解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
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几种函数模型的应用
[做一做]
3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15，20] B．[12，25]
C．[10，30] D．[20，30]
解析：选C.设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相像知，＝，
∴y＝40－x.
∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
,[同学用书P38～P40])
__一次函数与二次函数模型(高频考点)____
高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等学问交汇，以解答题为主要形式毁灭．
高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元
C．30元 D.元
(2)(2022·高考北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
(3)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
①写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
②求日销售额S的最大值．
[解析] (1)依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，
∴100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，
于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元．
(2)依据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0
＝－＋－2＝－＋，
所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
[答案] (1)A (2)B
(3)解：①依据题意，得
S＝
＝
②a.当1≤t≤30，t∈N时，
S＝－(t－20)2＋6 400，
∴当t＝20时，S的最大值为6 400；
b．当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，
∴当t＝31时，S的最大值为6 210.
∵6 210＜6 400，
∴当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
[规律方法] 把实际问题数学化、建立数学模型确定要过好的三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，生疏实际背景，为解题找出突破口；
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学学问进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
1.(2021·湖南岳阳模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析：当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
__函数y＝x＋(a>0)模型__________
某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
(2)若供应饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优待(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优待条件？请说明理由．
[解] (1)设该厂x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.
∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，
∴x天饲料的保管费与其他费用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．
故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)设该厂利用此优待条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，
则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．
令f(x)＝＋3x(x≥25)，
∵f′(x)＝－＋3，
∴当x≥25时，f′(x)>0，
即函数f(x)与y2在x≥25时是增函数．
∴当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.
∵390<417，∴该厂应考虑利用此优待条件．
[规律方法] (1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．
(2)对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特殊留意定义域和基本不等式中等号成立的条件，假如在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．
2.为了在夏季降温存冬季供暖时削减能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2－10
＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
__指数函数模型________________________
一片森林原来面积为a，方案每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为疼惜生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
[解] (1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)，
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？
解：设从今年开头，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，即≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
[规律方法] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的推断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C.依据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
2．某购物网站在2022年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数量少，他最少需要下的订单张数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单金额不少于500元．因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3，所以选C.
3．(2021·陕西五校模拟)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
解析：选B.以点B为圆心，30为半径画圆，设截东北方向所在直线所得弦长为x，则＋＝302，解得x＝20，故B城市处于危急区内的时间为＝1(小时)．
4．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aen t．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D.令a＝aent，即＝ent，由已知得＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.
5．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开头沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观看四个选项知答案为D.
6．如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
解析：设长为a cm，宽为b cm，则ab＝600 cm，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486 cm2.
答案：30 cm、20 cm
7．铁道机车运行1 h所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分(元)与运行速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为k(k>0)．假如机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500 km，则机车从甲站运行到乙站的总成本y(元)与机车运行速度x之间的函数关系为____________．
解析：∵1 h的成本为(m＋kx2)元，从甲站到乙站需运行 h，∴y＝(m＋kx2)＝500.
答案：y＝500
8．某人依据阅历绘制了2021年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前10天满足一次函数关系式，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得，解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.
答案：
9．(2021·湖北鄂州调研)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于点Q(图略)，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，所以＝，
即＝.
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48≥2 －48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元。
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660元．
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