资源描述
1．(2022·洛阳市高三班级统一考试)函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－3，0) B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
解析：选A.∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使，即－3<x<0.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A.f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
3．(2022·高考山东卷)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1
C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1
解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1，0<c<1.
4．(2022·高考天津卷)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
解析：选C.由于π>2，所以a＝log2π>1.由于π>1，所以b＝logπ<0.由于π>1，所以0<π－2<1，即0<c<1.所以a>c>b.
5．已知函数f(x)＝ln ，则f(x)是( )
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
解析：选A.要使函数有意义，则ex>e－x，解得x>0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y＝在(0，＋∞)上递增，所以f(x)在(0，＋∞)上递增，故选A.
6．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x(u＞0)的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
7．(2022·高考重庆卷)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析：f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝－(t∈R)，故该函数的最小值为－.故f(x)的最小值为－.
答案：－
8．计算下列各题：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)log3·log5[4log210－(3)－7log72]．
解：(1)lg －lg ＋lg
＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1>0，得ax>1，当a>1时，x>0；
当0<a<1时，x<0.
∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1< ax1< ax2，
故0< ax1－1<ax2－1，
∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)．
∴f(x1)<f(x2)．
故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
综上知，函数f(x)在定义域上单调递增．
1．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )
解析：选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，
∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排解A.
若a＞1，则0＜b＜1，
此时f(x)＝ax是增函数，
g(x)＝－logbx是增函数，
结合图象知选B.
2．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
又＋＝2，即＋＝2，
∴＝2，即m＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝________．
解析：依据已知函数f(x)＝|log2x|的图象知，0<m<1<n，所以0<m2<m<1，依据函数图象易知，当x＝m2时取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，解得m＝.再结合f(m)＝f(n)求得n＝2，所以n＋m＝.
答案：
5．(2021·辽宁沈阳模拟)设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0<a<b.
(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，求证：a·b＝1，>1.
解：(1)由f(x)＝1，得lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可推断a∈(0，1)，b∈(1，＋∞)，
从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.
又＝，
令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，
任取1<b1<b2，
∵φ(b1)－φ(b2)＝(b1－b2)·<0，
∴φ(b1)<φ(b2)，
∴φ(b)在(1，＋∞)上为增函数．
∴φ(b)>φ(1)＝2.∴>1.
6．(选做题)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，
即函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有
解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.
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