资源描述
1．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C.由f(x)在[－1，1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实数根．
2．函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C.依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2，3)，故选C.
3．函数f(x)＝(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B.由x－2 015>0，解得x>2 015，
故函数f(x)的定义域为(2 015，＋∞)．
由f(x)＝0，即(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)＝0，得x2－2 014x－2 015＝0或ln(x－2 015)＝0，
由x2－2 014x－2 015＝0，即(x＋1)(x－2 015)＝0，解得x＝－1或x＝2 015，明显都不在函数f(x)的定义域内，故不合题意；
解ln(x－2 015)＝0，即x－2 015＝1，解得x＝2 016.
所以函数f(x)只有一个零点．故选B.
4．(2021·广东六校联考(一))在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设f(x)＝x3－2x－1，由于一根在区间(1，2)内，依据二分法的规章，取区间中点，由于f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是，故选择D.
5．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝( )
A.或－ B．－
C. D．以上都不对
解析：选C.函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0.由f(0)＝0得a＝±.当a＝时，f(x)＝x2＋|x|，它只有一个零点0，符合题意；当a＝－时，f(x)＝x2－|x|，它有3个零点0，－，，不符合题意，综上，a＝.
6．函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：函数的定义域是(3，＋∞)，且由f(x)＝0得x＝2或x＝1，但1∉(3，＋∞)，2∉(3，＋∞)，故f(x)没有零点．
答案：0
7．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>.即a的取值范围是(－∞，－1)∪.
答案：(－∞，－1)∪
8．函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是________．
解析：在同始终角坐标系内，画出y1＝和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.
答案：(0，1)
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．
解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
①当－≤－1，即0<a≤时，须使即
∴a的解集为∅.
②当－1<－<0，即a>时，
须使
即
解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．
1．(2021·湖北武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
解析：选C.设对区间(1，2)二等分n次，开头时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为.依题意得＜0.01，∴n＞log2100.由于6＜log2100＜7，
∴n≥7，即n＝7为所求．
2．(2021·皖西七校联考)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，－1)
解析：选B.方程f(x)＝k化为方程e|x|＝k－|x|，令y＝e|x|，y＝k－|x|，如图，y＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y＝e|x|恰好有一个公共点时，有k＝1，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选B.
3．(2021·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．
解析：∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，
且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，
∴x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3.
∴a＋b＝5.
答案：5
4．(2021·北京西城期末)设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________；若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：f[f(－1)]＝f＝log2＝－2；
令g(x)＝0，得f(x)＝k，等价于y＝f(x)的图象和直线y＝k有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象，如图所示，要使得两个函数图象有2个不同交点，需0<k≤1.则实数k的取值范围是(0，1]．
答案：－2 (0，1]
5．设函数f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝
1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
6．(选做题)(1)已知f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.m为何值时，有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.
由题意，知
⇔⇔
∴－5<m<－1.
故m的取值范围为(－5，－1)．
法二：由题意，知
即
∴－5<m<－1.
∴m的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
即|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，
h(x)＝－a.
作出g(x)、h(x)的图象．
由图象可知，当0<－a<4，
即－4<a<0时，
g(x)与h(x)的图象有4个交点，
即f(x)有4个零点．
故实数a的取值范围为(－4，0)．
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