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课时提升作业(一)
集 合
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·湖州模拟)已知集合A={x|x(x-1)=0},那么( )
A.0∈A B.1∉A
C.-1∈A D.0∉A
【解析】选A.由于A={x|x(x-1)=0}={0,1},
所以0∈A,故选A.
2.(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0}
C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}
【解析】选C.由于M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},所以M∩N={-2,-1,0},选C.
3.(2021·福建高考)若集合A=1,2,3,B=1,3,4,则A∩B的子集个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.16
【思路点拨】先求集合A与集合B的交集,再求子集.
【解析】选C.A∩B=1,3,其子集有∅,{1},{3},{1,3}共4个.
4.(2021·山东高考)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且
(A∪B)={4},B={1,2},则A∩B=( )
A.{3} B.{4} C.{3,4} D.∅
【解析】选A.由U={1,2,3,4},(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中确定有元素3,没有元素4,所以A∩B={3}.
【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:
如图,由图及已知易得A∩B={3}.
5.(2022·宁波模拟)定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,3},则A*B中的全部元素数字之和为( )
A.10 B.14 C.20 D.24
【解析】选C.由已知A*B={2,3,4,5,6},所以其全部元素之和为2+3+4+5+6=20.
6.(2022·绍兴模拟)若集合M={-1,0,1},N={y|y=sinx,x∈M},则M∩N=( )
A.{1} B.{0}
C.{-1} D.{-1,0,1}
【解析】选B.由题意,得N={sin(-1),0,sin1},所以M∩N={0}.
7.(2022·温州模拟)已知集合P={x|x2+2021x-2022>0},Q={x|0≤x≤2},则P∩Q=( )
A.[0,1) B.(1,2]
C.(0,2) D.(-∞,-2021]∪[0,+∞)
【解析】选B.P={x|x>1或x<-2022},
所以P∩Q={x|1<x≤2}=(1,2].
8.(力气挑战题)(2021·上海高考)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
【解析】选B.方法一:代值排解法.当a=1时,A=R,符合题意;
当a=2时,由于B=[1,+∞),
A=(-∞,1]∪[2,+∞),
所以A∪B=R,符合题意.
综上,选B.
方法二:由于B=[a-1,+∞),A∪B=R,
所以A⊇(-∞,a-1),
(x-1)(x-a)≥0⇒
当a=1时,x∈R,当a=1时符合题意;
当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞)⇒1≥a-1解得1<a≤2;
当a<1时,A=(-∞,a]∪[1,+∞)⇒a≥a-1⇒a<1.综上,a≤2.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·湖南高考)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则
(A)∩B= .
【解析】(A)∩B=6,8∩2,6,8=6,8.
答案:{6,8}
【加固训练】(2022·杭州模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},
B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为 .
【解析】由题意可知阴影部分表示的集合为B∩(A),已知A={1,2,3,5},
U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以A={4,6,7,8},
又由于B={2,4,6},所以B∩(A)={4,6}.
答案:{4,6}
10.(2022·舟山模拟)已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则集合M∩N= .
【解析】由于M={0,1,3},所以N={x|x=3a,a∈M}
={0,3,9},
因此M∩N={0,3}.
答案:{0,3}
11.某校高三(1)班50个同学选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的状况如下表:
模块
模块选择的
同学人数
模块
模块选择的
同学人数
A
28
A与B
11
B
26
A与C
12
C
26
B与C
13
则三个模块都选择的同学人数是 .
【解析】设三个模块都选择的同学人数为x,
则各部分的人数如图所示,
则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.
答案:6
12.(力气挑战题)已知集合M为点集,记性质P为“对∀(x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给出下列集合:①{(x,y)|x2≥y};②{(x,y)|2x2+y2<1};
③{(x,y)|x2+y2+x+2y=0};④{(x,y)|x3+y3-x2y=0},其中具有性质P的点集是
(只填序号).
【思路点拨】把动点坐标代入不等式、方程,若满足,则具有性质P;若不满足,可取特殊点来说明.
【解析】对于①:取k=12,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但12,12∉{(x,y)|x2≥y},故①是不具有性质P的点集.
对于②:∀(x,y)∈{(x,y)|2x2+y2<1},
则点(x,y)在椭圆2x2+y2=1内部,
所以对0<k<1,点(kx,ky)也在椭圆2x2+y2=1的内部,
即(kx,ky)∈{(x,y)|2x2+y2<1},
故②是具有性质P的点集.
对于③:x+122+(y+1)2=54,
点12,-12在此圆上,但点14,-14不在此圆上,
故③是不具有性质P的点集.
对于④:∀(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},
对于k∈(0,1),由于(kx)3+(ky)3-(kx)2·(ky)=0⇒x3+y3-x2y=0,
所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质P的点集.
答案:②④
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知集合A={x|-2<x<-1或x>1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},
A∩B={x|1<x<3},求实数a,b的值.
【解析】由于A∩B={x|1<x<3},所以b=3.
又A∪B={x|x>-2},
所以-2<a≤-1,
又A∩B={x|1<x<3},
所以-1≤a≤1,所以a=-1,
综上,a=-1,b=3.
14.(2022·衢州模拟)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(A)∩B=∅,求m的值.
【解析】方法一:A={-2,-1},
由(A)∩B=∅得B⊆A,
由于方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:
Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,
所以B≠∅,
所以B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,
所以B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.所以m=1或2.
方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.
当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.所以m=1或2.
【加固训练】设A={x|x2+4x=0},
B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},
其中x∈R,假如A∩B=B,求实数a的取值范围.
【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},
Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,
当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=∅,符合B⊆A;
当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;
当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};
所以B={-4,0}得a=1.
所以a=1或a≤-1.
15.(力气挑战题)已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B=xx-2ax-(a2+1)<0.
(1)当a=2时,求A∩B.
(2)求使B⊆A的实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,A=(2,7),B=(4,5),
所以A∩B=(4,5).
(2)由于B={x|2a<x<a2+1},
当a<13时,A=(3a+1,2),
要使B⊆A,必需2a≥3a+1,a2+1≤2,此时a=-1;
当a=13时,A=∅,使B⊆A的a不存在;
当a>13时,A=(2,3a+1),
要使B⊆A,必需2a≥2,a2+1≤3a+1,此时1≤a≤3,
综上可知,使B⊆A的实数a的取值范围为[1,3]∪{-1}.
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