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时间：45分钟 分值：75分
1．(2021·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝＝5.
答案 5
2．(2021·四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析 由向量加法的平行四边形法则得＋＝＝2，所以λ＝2.
答案 2
3．观看：＋<2，＋<2，＋<2，…对于任意正实数a，b，试写出访＋≤2成立的一个条件可以是________．
解析 由于6＋16＝22, 7.5＋14.5＝22，(3＋)＋(19－)＝22，则可知a＋b＝22.
答案 a＋b＝22
4．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱和底面垂直，已知该四棱柱的顶点都在同一个球面上，且该四棱柱的侧棱长为4，体积为16，那么这个球的表面积是________．
解析 由题意，该几何体为正四棱柱，且底面面积为4，则底面边长为2，侧棱长为4，其体对角线长为＝2.
设其外接球的半径为R，则有2＝2R.所以R＝.
于是球的表面积S＝4πR2＝24π.
答案 24π
5．若f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈
解析 设△ABC三角所对边分别为a，b，c；cos∠MAC＝＝.
由正弦定理得＝＝＝，
所以＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，所以sin∠BAC＝＝.
答案
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________．
解析 a1，a3，a9的下标成等比数列，故可令an＝n，又易知它满足题设条件，于是＝.
答案
10．已知θ∈，＋＝2，则sin＝________.
解析 由题意可知该题的结果是一个定值，依据已知条件可考虑θ取特殊值所对应的三角函数值．明显不妨令＝＝，则θ可取.
故有sin＝sin＝
答案
11．不论k为何实数，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，不论k为何实数，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，
∴a2＋1≤2a＋4，解得－1≤a≤3.
∴实数a的取值范围是．
答案
12．过△ABC的中线AD的中点E作直线PQ分别交AB，AC于P，Q两点，如图所示，若＝m，＝n，则＋＝________.
解析 由题意知，＋的值与点P，Q的位置无关，故可利用特殊直线确定所求值．令PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝4.
答案 4
13．阅读下面的程序框图
若该框图是计算“A4＋A5＋A6”的值，那么推断框中应填________．
解析 (直接法)由题知，本框图是求A4＋A5＋A6的值，则运算第一次有s＝0＋A4，i＝4＋1＝5；运行其次次有s＝A4＋A5，i＝5＋1＝6；运行第三次有s＝A4＋A5＋A6，i＝6＋1＝7；运行第四次有s＝A4＋A5＋A6＋A7，i＝7＋1＝8，这时我们发觉，当程序运行到第四次的时候不满足题意，由此可知推断框内的语句应当是限制i的取值的，故可填i<7或i≤6.
答案 i<7(或i≤6)
14．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________．
解析 如图所示，构造＝a，＝b，＝c，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，|c|最大，最大值为2.
答案 2
15．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系为________．
解析 令f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1＝.
当0<x<1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．
∵1>>>>0，∴a>b>c.
答案 a>b>c
16．(2021·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析 |b|2＝(xe1)2＋2xye1·e2＋(ye2)2＝x2＋xy＋y2，所以当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2.
答案 2
17．(2021·湖南卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
解析 (1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.
当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－，
所以n为偶数时，Sn－1＝－，
当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，由于S1＝－，S3＝－，又由于S3＝S2－＝－，所以S2＝0，从而a3＝S3－S2＝－.
(2)由①得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－…－＝－＝
又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝＋＋…＋＝0，
故S1＋S2＋…＋S100＝.
答案 －
18．(2021·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．
解析 f(x)关于x＝－2对称得：f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即整理得：
解得：
所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，f′(x)＝－4(x3＋6x2＋7x－2)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)，
令f′(x)＝0解得x＝－2，－2－，－2＋，x<－2－时，f′(x)>0，－2－<x<－2和x>－2＋时，f′(x)<0；－2<x<－2＋时，f′(x)>0即f(x)在(－∞，－2－)，(－2，－2＋)上为增函数，在(－2－，－2)，(－2＋，＋∞)上为减函数，∴当x＝－2－时，f(x)有极大值16，x＝－2＋时，f(x)有极大值16，所以f(x)的最大值为16.
答案 16
19．(2021·四川卷)设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的全部点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出全部真命题的序号)
解析 由已知易知①正确，在Rt△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，BC的中点到三个顶点的距离之和为5＋＝7，A到三个顶点的距离为3＋4＋0＝7<7，故②错误；对于③不妨设A，B，C，D四点在平面直角坐标系中的x轴上从左到右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0<b<c<d，对于平面内任一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝＋＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|，由于0<b<c<d，所以x∈时，上式取得最小值，故③错误；对于④由已知A，C的中位点是线段AC上任一点，B，D的中位点是线段BD上任一点，所以A，B，C，D的中位点是AC与BD交点，故④正确，从而真命题为①④.
答案 ①④
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