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高考小题分项练(五)
(推举时间：40分钟)
1．(2022·广东)为了解1 000名同学的学习状况，接受系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40 C．25 D．20
答案 C
解析 依据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25，故选C.
2．(2022·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为p＝.
3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、其次次为黑球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的全部可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、其次次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为＝.
4．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设这两个数是x，y，则试验全部的基本大事构成的区域是确定的平面区域，所求大事包含的基本大事是由
确定的平面区域，如图阴影部分所示．阴影部分的面积是1－×2＝，
所以两个数之和小于的概率是.
5．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m，n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 y＝mx3－nx＋1，y′＝2mx2－n.
令y′＝0得x＝± ，
∴x1＝－ ，x2＝ 是y＝mx3－nx＋1的两个极值点．
∴函数在上为增函数，若满足在[1，＋∞)上为增函数，则 ≤1，即n≤2m.
∴P＝＝.
6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名同学在一次英语听力测试中的成果(单位：分).
甲组
乙组
9
0
9
x
2
1
5
y
8
7
4
2
4
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8
答案 C
解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因＝16.8，所以y＝8，故选C.
7．某校从高一班级同学中随机抽取部分同学，将他们的模块测试成果分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一班级共有同学600名，据此估量，该模块测试成果不少于60分的同学人数为( )
A．588 B．480 C．450 D．120
答案 B
解析 少于60分的同学人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)，
所以不少于60分的同学人数为480人．
8．将参与夏令营的500名同学编号为：001,002，…，500，接受系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名同学分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在其次营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( )
A．20,15,15 B．20,16,14
C．12,14,16 D．21,15,14
答案 B
解析 依据系统抽样特点，被抽到号码l＝10k＋3，k∈N.第353号被抽到，因此其次营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数为20,16,14.
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
依据上表可得线性回归方程 ＝ x＋ 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
答案 B
解析 ∵＝＝，
＝＝42，
又 ＝ x＋ 必过(，)，
∴42＝×9.4＋ ，∴ ＝9.1.
∴线性回归方程为 ＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时， ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
10．为了普及环保学问，增加环保意识，某高校从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参与环保学问测试．统计得到成果与专业的列联表：
优秀
非优秀
总计
A班
14
6
20
B班
7
13
20
总计
21
19
40
附：参考公式及数据
①K2统计量：
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)；
②独立性检验的临界值表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
则下列说法正确的是( )
A．有99%的把握认为环保学问测试成果与专业有关
B．有99%的把握认为环保学问测试成果与专业无关
C．有95%的把握认为环保学问测试成果与专业有关
D．有95%的把握认为环保学问测试成果与专业无关
答案 C
解析 K2＝≈4.912>3.841，
所以有95%的把握认为环保学问测试成果与专业有关.
11.(2022·江苏)1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
答案
解析 取两个数的全部状况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种状况．
乘积为6的状况有：(1,6)，(2,3)，共2种状况．
所求大事的概率为＝.
12．(2022·课标全国Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案
解析 两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，
则Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．
于是两本数学书相邻的状况有4种，
故所求概率为＝.
13．(2022·重庆)某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
答案
解析 设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率P＝＝.
14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得的线性回归方程为 ＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发觉表中有一个数据模糊看不清，请推断出该数据的值为________．
答案 68
解析 ＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.设模糊不清的数为y2，则62＋y2＋75＋81＋89＝5×75，即y2＝68.
15．以下四个命题，其中正确的是________．
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的确定值越接近于1；
③在线性回归方程 ＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.2个单位；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
答案 ②③
解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K2的值越小，说明两个变量有关系的把握程度越小．
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