2022高考数学二轮复习分层特训卷方法技巧专练二文.doc

专练(二)
技法5　构造法
1．m，n∈(2，e)，且－<ln，那么(　　)
A．m>n B．m<n
C．m>2＋ D．m，n的大小关系不确定
答案：A
解析：由不等式可得－<ln m－ln n，
即＋ln n<＋ln m.
设f(x)＝＋ln x(x∈(2，e))，
那么f′(x)＝－＋＝.
因为x∈(2，e)，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．
因为f(n)<f(m)，所以n<m.应选A.
2．f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，那么不等式x2f－f(x)>0的解集为________．
答案：(1，＋∞)
解析：设g(x)＝，那么g′(x)＝，
又因为f(x)>xf′(x)，
所以g′(x)＝<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数g(x)＝为(0，＋∞)上的减函数，
又因为x2f－f(x)>0⇔>⇔g>g(x)，
那么有<x，解得x>1.
3．设数列{an}的前n项和为Sn.假设S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，那么a1＝________，S5＝________.
答案：1　121
解析：∵an＋1＝2Sn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴数列是公比为3的等比数列，
∴＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.
4．如图，球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，那么球O的体积等于________．
答案：π
解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，
设正方体的外接球球O的半径为R，
那么正方体的体对角线长即为球O的直径，
所以|CD|＝＝2R，
所以R＝，
故球O的体积V＝＝π.
技法6　等价转化法
5．设x∈R，假设“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．[1,3)
C．(1,3] D．[1,3]
答案：A
解析：由|x－a|<2，解得a－2<x<a＋2.
因为“1≤x≤3”是“|x－a|<2”的充分不必要条件，所以[1,3](a－2，a＋2)，
所以解得1<a<3，所以实数a的取值范围是(1,3)．应选A.
6．[2022·兰州市诊断考试]函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，假设对于x∈[1,2]，f(ax2)<f(3)恒成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．－<a< B．－3<a<3
C．a< D．a<3
答案：A
解析：易知f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax2|<3对x∈[1,2]恒成立，即|a|<对x∈[1,2]恒成立，所以|a|<，解得－<a<，应选A.
7．[2022·福建厦门3月质检]在正三棱锥S－ABC中，AB＝2，SA＝2，E，F分别为AC，SB的中点．平面α过点A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，那么异面直线l和EF所成角的余弦值为________．
答案：
解析：画出图象如下图，因为平面α过点A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，所以l∥BC.
取AB的中点D，连接DE，DF，那么DE∥BC，所以l∥DE.
所以异面直线l和EF所成角即为∠DEF或其补角．
取BC的中点O，连接SO，AO，那么SO⊥BC，AO⊥BC，
又SO∩AO＝O，所以BC⊥平面SOA，
又SA⊂平面SOA，所以BC⊥SA，
所以DE⊥DF.
在Rt△DEF中，易知DE＝，DF＝，
所以EF＝2，cos∠DEF＝＝.
所以异面直线l和EF所成角的余弦值为.
8．[2022·福建泉州质检]抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，交l于D.过A，B分别作x轴的平行线，分别交l于M，N两点．假设＝4，△AND的面积等于，那么C的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答案：D
解析：画出图象如下图，设|BF|＝m，l与x轴的交点为F′，由＝4，得|AB|＝4m，|AF|＝3m，根据抛物线定义，得|AM|＝3m，|BN|＝m，过点B作BG⊥AM，
垂足为G，那么|MG|＝m，|AG|＝2m，
所以∠BAG＝60°.
所以|AD|＝6m，F为AD的中点，|BD|＝2m，|ND|＝m，
所以S△ADN＝|AM|·|DN|＝·3m·m＝，
所以m＝，易知|FF′|＝m＝4，所以p＝4.
所以C的方程为y2＝8x，应选D.
技法7　待定系数法
9．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式________．
答案：f(x)＝x2＋2x＋1
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
那么f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
10．衣柜里的樟脑丸，会因为挥发而体积变小，刚放入的新樟脑丸体积为a，经过t天后樟脑丸的体积V(t)与天数t的关系为V(t)＝a·e－kt，假设新樟脑丸经过80天后，体积变为a，那么函数V(t)的解析式为________．
答案：V(t)＝a· (t≥0)
解析：因为樟脑丸经过80天后，体积变为a，所以a＝a·e－80k，所以e－80k＝，解得k＝－ln ，所以V(t)＝a·＝a·，所以函数V(t)的解析式为V(t)＝a·(t≥0)．
11．焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，那么该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：由题意可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－y＝0，所以＝2，解得c＝4，由解得
所以双曲线的标准方程是－＝1，应选D.
12．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的局部图象如下图，其中|PQ|＝2.那么f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝2sin
解析：由题图可知A＝2，P(x1，－2)，Q(x2,2)，所以|PQ|＝＝＝2.
整理得|x1－x2|＝2，所以函数f(x)的最小正周期T＝2|x1－x2|＝4，即＝4，解得ω＝.
又函数图象过点(0，－)，
所以2sin φ＝－，即sin φ＝－.
又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.
技法8　换元法
13．求函数y＝(x>－1)的最值(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：设t＝x＋1，∴x＝t－1，∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1＝3.
14．函数f(x)＝cos2x－2cos2的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－cos x－1，
令t＝cos x∈[－1,1]，原函数可以看作g(t)＝t2－t－1，t∈[－1,1]．
由于对称轴为t＝，对于g(t)＝t2－t－1，
当t∈时，g(t)为减函数，当t∈时，g(t)为增函数，
当x∈时，t＝cos x为减函数，且t∈，
∴原函数在上单调递增，应选A.
15．不等式log2(2x－1)·log2(2x＋1－2)<2的解集是________．
答案：
解析：设log2(2x－1)＝y，那么y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈.
16．函数f(x)＝假设关于x的方程f2(x)－mf(x)＋m2－3＝0有5个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(　　)
A．[－，2) B．(－，2)
C．[，2) D．(，2)
答案：D
解析：画出f(x)的大致图象如下图，令t＝f(x)(t≥0)，那么关于t的二次方程为t2－mt＋m2－3＝0，设g(t)＝t2－mt＋m2－3.
当方程的一个根为t＝1时，解得m＝2或m＝－1，此时方程变为t2－2t＋1＝0或t2＋t－2＝0，均不合题意，故舍去．
由图象可知，当函数g(t)＝t2－mt＋m2－3的一个零点在(0,1)上，另一个零点在(1，＋∞)上时，满足题意，所以解得m∈(，2)．
综上所述，实数m的取值范围为(，2)，应选D.