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第一章 第三节
一、选择题
1．(文)假如x、y是实数，那么“cosx＝cosy”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] x＝y⇒cosx＝cosy，cosx＝cosy时，不愿定有x＝y，如cos＝cos(－)，故选B．
(理)“α≠β”是“sinα≠sinβ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 命题“若α≠β，则sinα≠sinβ”等价于命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”，这个命题明显不正确，故条件是不充分的；命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B．
2．(文)(2021·北京海淀期中)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx－t在(－∞，＋∞)内存在零点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数f(x)＝x2＋tx－t在(－∞，＋∞)内存在零点，等价于t2＋4t≥0，即t≤－4或t≥0，故选A．
(理)(2021·广东汕头质检)“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当a<－2时，f(－1)f(2)＝(－a＋3)(2a＋3)<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点；反过来，当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点时，不能得知a<－2，如当a＝4时，函数f(x)＝ax＋3＝4x＋3在区间[－1,2]上存在零点．因此，“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，选A．
3．(文)(2021·吉林长春调研)“直线l的方程为x－y－5＝0”是“直线l平分圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的周长”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标为(2，－3)，直线l经过圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的圆心，
所以直线l平分圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的周长．
由于过圆心的直线都平分圆的周长，
所以这样的直线有很多多条．
由此可知“直线l的方程为x－y－5＝0”是“直线l平分圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的周长”的充分不必要条件．
(理)钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
[答案] B
[解析] “好货不廉价”是“廉价没好货”的逆否命题，依据互为逆否命题的真假全都得到：“好货不廉价”是真命题．
所以“好货”⇒“不廉价”，
所以“不廉价”是“好货”的必要条件．
4．(文)a＝－是函数f(x)＝ax3＋4x＋1在(－∞，－2]上单调递减的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a＝－时，若x≤－2，则f ′(x)＝－x2＋4≤0，∴f(x)在(－∞，－2]上单调递减．
若f(x)在(－∞，－2]上单调递减，
∵f ′(x)＝3ax2＋4，∴3ax2＋4≤0，在(－∞，－2]上恒成立，即a≤－恒成立，∴a≤－.故选A．
(理)(2021·云南昆明一中检测)已知条件p：函数g(x)＝logm(x－1)为减函数，条件q：关于x的二次方程x2－2x＋m＝0有解，则p是q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数g(x)＝logm(x－1)为减函数，则有0<m<1，即p：0<m<1.关于x的二次方程x2－2x＋m＝0有解，则判别式Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，即q：m≤1.所以p是q的充分而不必要条件，选A．
5．(2021·山东理，7)给定两个命题p，q，若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由题意知，q⇒¬p且¬p⇒/ q，可得p⇒¬q且¬q⇒/ p，所以p是¬q的充分不必要条件．
6．(文)(2022·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由(a－b)·a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b⇒(a－b)<0⇒/ (a－b)·a2<0，故选A．
(理)(2022·豫东豫北十所名校段考)已知数列{an}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 设公比为q，∵a1<a2，∴a1(1－q)<0，又∵a2<a3，∴a1q<a2q2，即a1q(1－q)<0，∴q>0，∴a4－a5＝a1q3－a1q4＝a1q3(1－q)，∵q>0，a1(1－q)<0，∴a1q3(1－q)<0，∴a4<a5.反之，若等比数列{an}为1，－1,1，－1，1，－1，…，则a4<a5，而a1>a2，故选A．
二、填空题
7．(文)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8相互平行的充要条件是m＝________.
[答案] 1
[解析] 由条件知，1×2－(m＋1)m＝0，
∴m＝1或－2.
经检验知，当m＝1时，两直线平行，
当m＝－2时，两直线重合．
(理)有下列命题：
①设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；
③若p∧q是假命题，则p、q都是假命题；
④命题p：“∃x0∈R，x－x0－1>0”的否定¬p：“∀x∈R，x2－x－1≤0”
其中真命题的序号是________．
[答案] ②④
[解析] ∵NM，∴a∈M是a∈N的必要不充分条件，∴①为假命题；逆否命题是将原命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件，a∈M否定后a∉M为结论，b∉M否定后b∈M为条件，故②为真命题；p∧q为假命题时，p、q至少有一个为假命题，不愿定“p、q都是假命题”，故③为假命题；特称命题的否定为全称命题，>的否定为≤，故④为真命题．
8．(2021·山东临沂期中)已知下列四个命题：
①若tanθ＝2，则sin2θ＝；
②函数f(x)＝lg(x＋)是奇函数；
③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB＝sinC，则△ABC是直角三角形．
其中全部真命题的序号是________．
[答案] ①②④
[解析] sin2θ＝＝＝，所以①正确；f(－x)＝lg(－x＋)＝lg()＝－f(x)，所以②正确；由2a>2b可知a>b，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件，所以③不正确；由sinAcosB＝sinC得sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以cosAsinB＝0，所以cosA＝0，即A＝，所以△ABC是直角三角形，所以④正确．所以真命题的序号是①②④.
9．(文)(2021·绍兴模拟)“－3<a<1”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 方程表示椭圆时，
应有
解得－3<a<1且a≠－1，
故“－3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
[失误与防范] 当a＋3＝1－a>0时，方程表示圆．
(理)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是<x<，则m的取值范围是________．
[答案] [－，]
[解析] 由题意知：“<x<”是“不等式|x－m|<1”成立的充分不必要条件．
所以{x|<x<}是{x||x－m|<1}的真子集．
而{x||x－m|<1}＝{x|－1＋m<x<1＋m}，
所以有
解得－≤m≤.
所以m的取值范围是[－，]．
三、解答题
10．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴¬p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1，
∴¬q：x<m－1或x>m＋1.
又∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴且等号不同时取得．
∴2≤m≤4.
一、选择题
11．(文)已知a、b为实数，则“2a>2b”是“lna>lnb”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵2a>2b⇔a>b，
而lna>lnb⇔a>b>0，
因此“2a>2b”是“lna>lnb”的必要而不充分条件，选B．
(理)已知α、β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l，当m∥l时，m与β不垂直，故选B．
12．(文)△ABC中“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] cosA＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC，
∴cos(B－C)＝0.∴B－C＝.
∴B＝＋C>，故为钝角三角形，反之明显不成立，故选B．
(理)(2021·浙江金华十校联考)设角α，β是锐角，则“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 由于α＋β＝，
所以tan(α＋β)＝1＝.
则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
故“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的充分条件；
由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，可得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，
所以tan(α＋β)＝＝1，
由α，β是锐角，如α＋β∈(0，π)，可得α＋β＝，
故“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的必要条件．
综上可知，“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的充要条件．
13．(文)设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
[答案] B
[解析] 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，不能推出x>1或y>1.对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1.故选B．
(理)已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当c＝－1时，函数f(x)＝易知函数f(x)在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且留意到log21＝1－1＝0，此时函数f(x)在R上是增函数；反过来，当函数f(x)在R上是增函数时，不能得出c＝－1，如c＝－2，此时也能满足函数f(x)在R上是增函数．综上所述，“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件，选A．
14．“m>0>n”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当m>0，n<0时，方程mx2＋nx2＝1，化为－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，若方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则应有m>0，n<0，故选C．
15．(2022·辽宁省协作校联考)以下推断正确的是( )
A．函数y＝f(x)为R上可导函数，则f ′(x0)＝0是x0为函数f(x)的极值点的充要条件
B．命题“存在x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“任意x∈R，x2＋x－1>0”
C．命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆命题为假命题
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
[答案] D
[解析] 若x0是f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0，但f ′(x0)＝0时，x0不愿定为f(x)的极值点，∴A错；“<”的否定应为“≥”，∴B错；在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB，∴该命题的逆命题为真命题，∴C错；函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c⇔2bx＝0恒成立⇔b＝0.
二、填空题
16．(2021·衡阳六校联考)已知命题p：|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，命题q：y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，则a的取值范围是________．
[答案] (，]
[解析] 留意到|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，－1≤x≤1时，等号成立，即|x－1|＋|x＋1|的最小值是2.若不等式|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，则3a≤2，即a≤.若函数y＝(2a－1)x为减函数，则0<2a－1<1，即<a<1.由“p且q”为真命题得，命题p、q均为真命题，因此有，即<a≤，故a的取值范围是(，]．
17．(文)给出下列命题：
①“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．
②对于数列{an}，“an＋1>|an|，n＝1,2，…”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
③已知a、b为平面上两个不共线的向量，p：|a＋2b|＝|a－2b|；q：a⊥b，则p是q的必要不充分条件．
④“m>n”是“()m<()n”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是________．
[答案] ①②
[解析] ①∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1化为＋＝1，故表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；
②对任意自然数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an|不愿定成立，如a2>|a1|就不成立．∴②是真命题；
③由于|a＋2b|＝|a－2b|⇔(a＋2b)2＝(a－2b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，因此p是q的充要条件，∴③是假命题；
④∵y＝x是减函数，∴当m>n时，m<n，反之，当()m<n时，有m>n，因此m>n⇔m<n，故④是假命题．
(理)设p：q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是________．
[答案] (0，)
[解析] 设A＝，B＝{(x，y)|
x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}，
则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心，以r为半径的圆的外部，设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，则
d＝＝，
∵p是q的充分不必要条件，∴AB，则0<r<.
三、解答题
18．(文)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
[解析] ∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
∴解得m∈[－，1]．
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴∴m为4的约数．
又∵m∈[－，1]，∴m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
(理)(2022·黑龙江大庆试验中学期中)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋)的定义域为R；命题q：3x－9x<a对一切实数x恒成立，假如命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] 命题p：对于任意的x∈R，ax2－x＋>0恒成立，则需满足⇒a>2，q：g(x)＝3x－9x＝－(3x－)2＋≤恒成立⇒a>.
由于“p且q”为假命题，所以p，q至少一假．
(1)若p真q假，则a>2且a≤，a不存在；
(2)若p假q真，则a≤2且a>，∴<a≤2；
(3)若p假q假，则a≤2且a≤，∴a≤.
综上知，a≤2.
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