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第2讲 导数及其应用
1. ln 2-1 【解析】设切点为(x0,y0),y'==,得切点(2,ln 2),所以直线方程为y-ln2=(x-2),即b=ln2-1.
2. 【解析】由题意得f'(x)=2mx+-2≥0,即m≥-在x>0上恒成立,由于函数y=-=-+≤,所以实数m的取值范围是.
3. (-∞,-1) 【解析】由于y=ex+ax,所以y'=ex+a.由于函数y=ex+ax有大于0的极值点,则方程y'=ex+a=0有大于0的解.由于当x>0时,-ex<-1,所以a=-ex<-1.
4. (-2,2) 【解析】由题意得f'(x)=3x2-3=0,即x=±1.由于当x=-1时,函数y=x3-3x有极大值2,当x=1时,函数y=x3-3x有微小值-2,作出图象,可知实数a的取值范围是(-2,2).
5. -4 【解析】由于函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,所以设f-x=t(t为正常数),则f(t)=2,f=x+t,从而有f(x)=+t.又f(t)=+t=2,所以t=1,从而f(x)=+1,所以f'(x)=-,即f'=-4.
6. [-6,-2] 【解析】当x=0时,原式恒成立;当x∈(0,1]时,原不等式等价于a≥恒成立;当x∈[-2,0)时,原不等式等价于a≤恒成立.令f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,1].由于f(x)==--,令t=,即y=-3t3-4t2+t,所以y'=-9t2-8t+1,可知为y的单调增区间,(-∞,-1),为y的单调减区间,所以当x∈[-2,0),即t∈时,y在(-∞,-1)上单调递减,在上单调递增,所以当t=-1时,ymin=-2,即f(x)min=-2,所以a≤-2.当x∈(0,1],即t∈[1,+∞)时,y单调递减,所以当t=1时,ymax=-6.综上,实数a的取值范围是[-6,-2].
7. 【解析】令函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,a≠0.当x=y=0时,得f(0)=0;当y=-x时,得0=f(x)+f(-x)-2 013x2,即2ax2+2c=2 013x2恒成立,得所以再由f'(1)=2 012,得2a+b=2 012,即b=-1,所以f'(x)的零点就是-,即.
8. 【解析】MN的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h'(x)=2x-=,明显x=是函数h(x)在其定义域内唯一的微小值点,也是最小值点,故t=.
9. (1) 由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,
所以f(x)=x3+bx2+cx+2,
所以f'(x)=3x2+2bx+c.
由于函数f(x)在点M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,
知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f'(-1)=6.
所以即
解得b=c=-3.
故所求函数解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.
(2) 由(1)知f(x)=x3-3x2-3x+2,
所以f'(x)=3x2-6x-3,
令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0,
解得x1=1-,x2=1+.
当x<1-或x>1+时,f'(x)>0;
当1-<x<1+时,f'(x)<0.
故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调增区间是(-∞,1-),(1+,+∞),单调减区间是(1-,1+).
10. (1) 由于f(x)=x3-ax(a>0),
g(x)=bx2+2b-1,
所以f'(x)=x2-a,g'(x)=2bx.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,
所以f(1) =g(1) ,且f'(1) =g'(1) ,
即-a=b+2b-1,且1-a=2b,
解得a=,b=.
(2) 当b=时,
h(x)=x3+x2-ax-a(a>0),
所以h'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
令h'(x)=0,解得x1=-1,x2=a>0.
当x变化时,h'(x),h(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
h'(x)
+
0
-
0
+
h(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗
所以函数h(x)的单调增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调减区间为(-1,a),
故h(x)在区间(-2,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减.
又函数h(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,
所以
即 解得0<a<,
所以实数a的取值范围是.
11. (1) 由于曲线y=f(x)关于坐标原点对称,所以f(x)+f(-x)=0恒成立,
即x3+ax+b-x3-ax+b=0,于是b=0.
设函数y=f(x)的图象与x轴的切点坐标为(t,0),
则即解得t=0,a=0.
故a=b=0,f(x)=x3.
(2) g(x)=3-|f(x)|=假设存在m,n(mn>0)适合题意.
①当0<m<n时,由于g(x)=3-x3在区间[m,n]上是单调减函数,
所以即
两式相减,得m2+mn+n2=1.
由于0<m<n,所以n2<m2+mn+n2=1,于是0<m<n<1.
从而m3+n<13+1=2<3,与m3+n=3冲突,故此时m,n不存在.
②当m<n<0时,由于g(x)=3+x3在区间[m,n]上是单调增函数,所以
于是m,n是方程g(x)=x(即x3-x+3=0)的两个相异负根.
令h(x)=x3-x+3(x<0),
则由h'(x)=3x2-1=0得x=-.
由于当x≤-时,h'(x)≥0,所以函数h(x)在区间上是单调增函数,从而函数h(x)在区间上至多有一个零点.
又由于当-<x<0时,h'(x)<0,
所以函数h(x)在区间上是单调减函数,于是h(x)>h(0)=3>0,
所以函数h(x)在区间上没有零点.
故此时m,n不存在.
综上所述,不存在实数m,n(mn>0),使函数g(x)=3-|f(x)|的定义域与值域均为区间[m,n].
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