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第2讲 不等式及线性规划
一、选择题
1．(2022·广州综合测试)已知x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为 ( )．
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析 ∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋＝(x＋1)＋－1，
≥2－1＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号．
答案 C
2．(2022·安徽“江南十校”联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b ，若x，y均为正数，则＋的最小值是 ( )．
A. B．
C．8 D．24
解析 ∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，
即2x＋3y＝3.
∵x＞0，y＞0，
∴＋＝·(2x＋3y)
＝≥(12＋2×6)＝8.
当且仅当3y＝2x时取等号．
答案 C
3．(2022·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为 ( )．
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 依据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
由z＝x＋2y，得y＝－x＋.
先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．
当直线过点A时，z取得最小值．
由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.
答案 B
4．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为 ( )．
A．1 B．
C．2 D．
解析 2x＋＝2(x－a)＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.
答案 B
5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若对任意x＞2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是 ( )．
A．[－1,7] B．(－∞，3]
C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
解析 由题意得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)，故不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，化简得x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0.
故原题等价于x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立，
由二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2的图象，知其对称轴为x＝，争辩得或解得a≤3或3<a≤7，综上可得a≤7.
答案 C
二、填空题
6．(2022·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________．
解析 ∵a＞b＞0，ab＝1，
∴＝＝＝(a－b)＋≥2.当且仅当：a－b＝时取等号．
答案 2
7．(2022·吉林省试验中学)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．
解析 易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，由于直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)过圆心，把圆心坐标代入得：a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立．
答案 4
8．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，
即a≤(x＋y)＋恒成立．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤2，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；
(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．
解 (1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.
由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.
(2)由于x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.
10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹放射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与放射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽视其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解 (1)令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)由于a>0，
所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
11．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；
(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．
(1)证明 易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1，于是c≥1，
且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.
故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.
(2)解 由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝.
令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.
而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是.
因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.
当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为.
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