1、第2讲不等式及线性规划一、选择题1(2022广州综合测试)已知x1，则函数yx的最小值为()A1B0 C1D2解析x1，x10.yx(x1)1，211，当且仅当x1，即x0时取等号答案C2(2022安徽“江南十校”联考)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab ，若x，y均为正数，则的最小值是()A.B C8D24解析ab，3(y1)2x0，即2x3y3.x0，y0，(2x3y)(1226)8.当且仅当3y2x时取等号答案C3(2022天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2B3 C4D5解析依据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示由zx2y，得yx.先画出直线
2、yx，然后将直线yx进行平移当直线过点A时，z取得最小值由得A(1,1)，故z最小值1213.答案B4已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A1B C2D解析2x2(xa)2a22a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为，故选B.答案B5在R上定义运算：xyx(1y)若对任意x2，不等式(xa)xa2都成立，则实数a的取值范围是()A1,7B(，3C(，7D(，17，)解析由题意得(xa)x(xa)(1x)，故不等式(xa)xa2可化为(xa)(1x)a2，化简得x2(a1)x2a20.故原题等价于x2(a1)x2a20在(2，)上恒成立，由二次函数
3、f(x)x2(a1)x2a2的图象，知其对称轴为x，争辩得或解得a3或3k的解集为x|x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)由于x0，f(x)，当且仅当x时取等号由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.10如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹放射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与放射方向有关炮的射程是指炮弹落地点
4、的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽视其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)由于a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标11已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，对任意的xR，恒有f(x)f(x)(1)证明：当x0时，f(x)(xc)2；
5、(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值(1)证明易知f(x)2xb.由题设，对任意的xR，2xbx2bxc，即x2(b2)xcb0恒成立，所以(b2)24(cb)0，从而c1，于是c1，且c2 |b|，因此2cbc(cb)0.故当x0时，有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)0.即当x0时，f(x)(xc)2.(2)解由(1)知c|b|.当c|b|时，有M.令t，则1t1，2.而函数g(t)2(1t1)的值域是.因此，当c|b|时，M的取值集合为.当c|b|时，由(1)知b2，c2.此时f(c)f(b)8或0，c2b20，从而f(c)f(b)(c2b2)恒成立综上所述，M的最小值为.
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