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第七章 第四节
一、选择题
1．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞) D．[－4,4]
[答案] A
[解析] M＝＝a＋.
当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4.
2．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是( )
A．15 B．6
C．60 D．1
[答案] C
[解析] ∵x>0，y>0，
∴＋＝1≥2，
∴xy≥60，当且仅当3x＝5y时等号成立．
3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
[答案] B
[解析] 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x>0，则围成的两个正方形面积之和为S＝()2＋()2≥＝8，当且仅当＝，即x＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.
4．(文)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D．
[答案] B
[解析] 本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用．
依据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥4.
当a＝b＝时“＝”成立．故选B．
(理)下列函数最小值为4的是( )
A．y＝x＋ B．y＝sinx＋(0＜x＜π)
C．y＝3x＋4·3－x D．y＝lgx＋4logx10
[答案] C
[解析] A中没有强调x＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B中虽然x∈(0，π)，sinx＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sinx＝即sinx＝±2冲突，所以等号取不到，故不对．C中3x＞0，∴可直接运用基本不等式3x＋4·3－x≥2＝4，当且仅当3x＝，即3x＝2，x＝log32时取等号，故正确．D中由于没有给出x的范围，所以lgx不愿定大于0，故不对．
5．(2022·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，其次年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A． B．
C． D．－1
[答案] D
[解析] 设两年的平均增长率为x，则有(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)⇒x＝－1，故选D．
6．(文)若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝1，则＋的最小值是( )
A．e B．4
C． D．8
[答案] C
[解析] 由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得.
故＋＝＝≥＝＝.
当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．
(理)若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则( )
A．R<P<Q B．P<Q<R
C．Q<P<R D．P<R<Q
[答案] B
[解析] 解法1：取a＝100，b＝10.
P＝，Q＝＝lg10＝lg，
则有R＝lg55＝lg>Q，即P<Q<R.
解法2：∵a>b>1，
∴lga>lgb>0.
∴P＝＝·<＝Q，
∴Q＝(lga＋lgb)＝lg<lg＝R，
∴P<Q<R.
二、填空题
7．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
[答案] 3
[解析] ∵12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.
当且仅当即时xy取得最大值3.
8．(2022·福建高考)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方形容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
[答案] 160
[解析] 设底面长为x，宽为y，则容器的总造价为
z＝80＋10(2x＋2y)且xy＝4，
∴z＝80＋20(x＋y)≥80＋40＝160.
9．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由已知易得x＋3y＝1，
所以＋＝·(x＋3y)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取得等号．
三、解答题
10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值．
[解析] (1)∵x>0，a>2x，
∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×[]2＝，
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
则＋＝≥＝2.
∴(＋)min＝2.
当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．故z最小值为2.
一、选择题
1．(文)已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是( )
A．3 B．1＋2
C．6 D．7
[答案] D
[解析] ∵3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1
≥2＋1＝2×3＋1＝7，(当且仅当x＝3y＝1等号成立)
∴所求最小值为7.
(理)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A． B．
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，
则直线应过圆心，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4 (等号在a＝b＝时成立)．
2．(2022·重庆高考)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
[答案] D
[解析] 本题考查对数的运算性质及均值定理“1”的代换．
∵ab>0,3a＋4b>0，
∴a>0，b>0，
∵log4(3a＋4b)＝log2(3a＋4b)，
log2＝log2(ab)，
∴由题意知，3a＋4b＝ab，即＋＝1，
而a＋b＝(a＋b)(＋)＝＋4＋3＋＝7＋＋≥7＋2＝7＋4.
当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时，取“＝”．
二、填空题
3．设x>1，y>1，且lg(xy)＝4，则lgx·lgy的最大值为________．
[答案] 4
[解析] ∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，
∴lgx·lgy≤()2＝＝4(当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时取等号)．
∴当x＝y＝100时，lgx·lgy有最大值4.
4．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a、b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
[答案] 1 3
[解析] 1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍)，
∴k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝即x＝1时等号成立．
三、解答题
5．(文)设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
[分析] 两次利用基本不等式时，留意等号能否成立及成立时的条件．
[解析] 由于a，b均为正实数，
所以＋≥2＝.
当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
又由于＋ab≥2＝2.
当且仅当＝ab时等号成立．
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当即a＝b＝时取等号．
(理)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1.求证：
≥9.
[分析] 由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因a＋b＝1，能否把左边开放，实行“1”的代换．
[解析] 方法一 由于a＞0，b＞0，a＋b＝1.
所以1＋＝1＋＝2＋.
同理1＋＝2＋.
所以＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
方法二 ＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋，
由于a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，
因此≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
6．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需修理)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的修理费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(x>0)(单位：元)．
(1)将总费用y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．
[解析] 本小题主要考查函数和不等式等基础学问，考查用基本不等式求最值和运用数学学问解决实际问题的力气．
(1)如图，设矩形的另一边长为am，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>0)
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800，
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
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