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专题二综合测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tan(α＋β)＝＝－3.
答案 A
2．若tanα＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析 ＝＝2tanα＝6.
答案 D
3．把函数y＝sin(ωx＋φ)(其中φ是锐角)的图象向右平移个单位，或向左平移π个单位都可以使对应的新函数成为奇函数，则ω＝( )
A．2 B．3
C．4 D．1
解析 由题意知，函数的周期T＝2＝π，
∴ω＝＝2.
答案 A
4．(2021·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝，由正弦定理＝，得sin∠BAC＝.
答案 C
5．(2021·全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析 (m＋n)⊥(m－n)，得(m＋n)·(m－n)＝0，即m2－n2＝0，(λ＋1)2＋1－＝0，解得λ＝－3，故选B.
答案 B
6.
知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析 由题图知：＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝，∴φ＝－.
答案 D
7．(2022·湖南)函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )
A． B．
C． D.
解析 ∵f(x)＝sinx－cos
＝sinx－cosxcos＋sinxsin
＝sinx－cosx＋sinx＝
＝sin(x∈R)，
∴f(x)的值域为．
答案 B
8．(2022·江西)已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg5)，b＝f，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
解析 f(x)＝＝，
∴a＝＋，
b＝＋＝－，
因此，a＋b＝1.
答案 C
9．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的外形为( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析 ∵cos2＝，∴＝，
∴1＋＝，化简得a2＋b2＝c2，
故△ABC是直角三角形．
答案 B
10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在单调递减
B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递增
解析 y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝sin.
由最小正周期为π得ω＝2.
又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<可知φ＝，所以y＝cos2x在单调递减．
答案 A
11．(2021·福建卷)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析 由于·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以该四边形ABCD的面积为||||＝××＝5.
答案 C
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．假如a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋
C．2＋ D．2＋3
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.①
∵B＝30°，△ABC的面积为，
∴S△ABC＝ac·sinB＝ac·sin30°＝ac＝，
得ac＝6.②
由余弦定理得cosB＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac.③
联立①②③可得b＝1＋.
答案 B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．
13．(2021·四川卷)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是_______．
解析 由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，由α∈，所以sinα≠0，从而cosα＝－，所以α＝π，tan2α＝tanπ＝.
答案
14．(2021·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.
解析 3sinA＝5sinB，由正弦定理得3a＝5b，令a＝5m，则b＝3m，又b＋c＝2a，得c＝7m，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝π.
答案 π
15．(2021·北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析 以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，由c＝λa＋μb，得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3计算得λ＝－2，μ＝－，所以＝4
答案 4
16．已知函数f(x)＝2sinxcos|x|(x∈R)，则下列叙述：
①f(x)的最大值是1；②f(x)是奇函数；③f(x)在上是增函数；④f(x)是以π为最小正周期的函数．
其中正确的为________．
解析 ∵cosx＝cos(－x)＝cos|x|，
∴f(x)＝2sinxcos|x|＝2sinxcosx＝sin2x.
因此，f(x)的最大值为1，且f(x)为奇函数．
其周期T＝＝π，
∴①②④命题正确；
又∵f(x)＝sin2x，令－≤2x≤，得－≤x≤，
∴其一个增区间为，而⃘，∴③错误．
答案 ①②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)(2021·临沂一模)已知f(x)＝cos－sin.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)若f(α)＝，求的值．
解 (1)f(x)＝cos－sin
＝sin＋sin＝2sin.
∴f(x)的最小正周期为2π，最小值为－2.
(2)由f(α)＝，得sin＝.
∴(sinα－cosα)＝，
∴2sinαcosα＝－.
∴＝
＝＝2sinαcosα＝－.
18．(本小题12分)(2021·辽宁卷)设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.
(1)求|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解 (1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，
|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，
由|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sinx＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x
＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
19．(本小题12分)(2021·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
解 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得b2＝(a＋c) 2－2ac(1＋cosB)，
又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝9.
解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sinB＝＝，
由正弦定理得sinA＝＝.
由于a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝＝.
因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.
20．(本小题12分)(2021·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．
解 (1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cosA－2＝0，
(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．
由于0<A<π，所以A＝.
(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.及b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.
又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.
21．(本小题12分)郑州市某广场有一块不规章的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建筑一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座外形分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建筑费用最低，说明理由，最低造价为多少？
解 (1)在△ABC中，由余弦定理得
cosC＝＝，①
在△ABD中，由余弦定理得
cosD＝＝，②
由∠C＝∠D，得cosC＝cosD，
解得AB＝7，所以AB的长度为7米．
(2)小李的设计使建筑费用最低．
理由如下：
易知S△ABD＝AD·BDsinD，S△ABC＝AC·BCsinC，
由于AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC.
故选择△ABC的外形建筑环境标志费用较低．
由于AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°.
故S△ABC＝AC·BCsinC＝10，
所以所求的最低造价为5 000×10＝50 000≈86 600元．
22．(本小题12分)(2022·四川)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
解 (1)由已知，可得
f(x)＝3cosωx＋sinωx＝2sin，
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.
所以函数f(x)的值域为．
(2)由于f(x0)＝，由(1)，知
f(x0)＝2sin＝，
即sin＝.
由x0∈，知＋∈，
所以cos＝＝.
故f(x0＋1)＝2sin
＝2sin
＝2
＝2×＝.
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