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第八章 第2节
一、选择题
1．“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8肯定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
[答案] A
2．已知圆C∶x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
[解析] 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
[答案] C
3．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0肯定不经过( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．
[答案] D
4．(2022·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4, 故选B.
[答案] B
5．(2021·福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．6
[解析] 法一 依题意，圆心C的坐标为(3,3)．由解得或∴A(3,5)，B(1,3)，∴＝(0,2)，＝(－2,0)，∴·＝0.故选B.
法二 设A(x1，x1＋2)，B(x2，x2＋2)，由得x2－4x＋3＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝3.∴·＝(x1－3，x1－1)(x2－3，x2－1)＝(x1－3)(x2－3)＋(x1－1)(x2－1)＝10－4(x1＋x2)＋2x1·x2＝10－4×4＋2×3＝0.故选B.
[答案] B
6．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
[解析] 设圆心为C(m,0) (m＞0)，由于所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.
[答案] A
7．(2021·郑州第一次质检)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排解A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排解B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排解C.
[答案] D
8．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为＝2，∴dmin＝2－1＝1.
[答案] A
9．(2021·温州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．4 B．3 C．2 D.
[解析] 圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，由于四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.
[答案] C
10．(2021·成都模拟)直线l：mx＋(m－1)y－1＝0(m为常数)，圆C：(x－1)2＋y2＝4，则下列说法正确的是( )
A．当m变化时，直线l恒过定点(－1,1)
B．直线l与圆C有可能无公共点
C．对任意实数m，圆C上都不存在关于直线l对称的两点
D．若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2
[解析] 直线l可化为m(x＋y)－(y＋1)＝0，令得∴l过定点(1，－1)，故A错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴点(1，－1)在⊙C内部，∴l与⊙C恒相交，故B错；当l过圆心C(1,0)，即m＝1时，圆心上存在关于直线l对称的两点，故C错．故选D.
[答案] D
11．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B．4 C．8 D．8
[解析] ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
[答案] C
12．(2021·吉林模拟)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2)
[解析] 当|＋|＝| |时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝；当k＞时|＋|＞||，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k＜2，综上，k的取值范围为[，2)，故选C.
[答案] C
二、填空题
13．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
[解析] 圆的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.
[答案] (－∞，1)
14．(2022·重庆高考)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
[解析] ∵圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
∴圆心为C(－1,2)，半径为3.
∵AC⊥BC，∴|AB|＝3.
∵圆心到直线的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝3，
即(a－3)2＝9，∴a＝0或a＝6.
[答案] 0或6
15．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．
[解析] 由y＝3－，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．
∴曲线y＝3－是半圆，如图中实线所示．
当直线y＝x＋b与圆相切时，＝2.
∴b＝1±2.由图可知b＝1－2.
∴b的取值范围是[1－2，3]．
[答案] 1－2≤b≤3
16．已知AC、BD为圆O∶x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
[解析] 如图，取AC的中点F，BD的中点E，
则OE⊥BD，OF⊥AC.
又AC⊥BD，
∴四边形OEMF为矩形，
设|OF|＝d1，|OE|＝d2，
∴d＋d＝|OM|2＝3.
又|AC|＝2，
|BD|＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|
＝2 ·
＝2
＝2 .
∵0≤d≤3.
∴当d＝时，S四边形ABCD有最大值是5.
[答案] 5
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