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第四章 第2节
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝( )
A．b－a B．b＋a
C．a＋b D．a－b
解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
答案：A
2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析：设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴，∴，∴c＝a－b.
答案：B
3．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
答案：B
4．(2021·山西省高三诊考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝( )
A. B．4
C．3 D．2
解析：依题意得，＝，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝＝4，选B.
答案：B
5．(2021·江苏五市联考)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为( )
A．4 B．8
C．0 D．2
解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，明显2a＋b≠0，
故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，
∴⇒x＝4(x>0)．
答案：A
6．(2021·朝阳一模)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．
∵N为AM中点，
∴＝＝x＋y ＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
答案：A
7．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a＝(4,2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；
因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知
4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，
∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．
因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．
答案：C
8．若平面对量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：方法一 设b＝(x，y)，
由已知条件
整理得解得
∴b＝(－3,6)．
方法二 设b＝(x，y)，由已知条件
解得或(舍去)，∴b＝(－3,6)．
方法三 ∵|a|＝，∴a＝，
则b＝－3＝(－3,6)．
答案：A
9．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
即a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴即
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：D
10．非零不共线向量、，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2，故选A.
答案：A
11．(2021·烟台质检)如图所示，O为线段A0A2021外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2021中任意相邻两点间的距离相等，＝a，OA2021＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2021的结果是( )
A．1006(a＋b) B．1007(a＋b)
C．2022(a＋b) D．2022(a＋b)
解析：设A0A2021的中点为A，则A也是A1A2022，…，A1006A1007的中点，所以＋OA2021＝2＝a＋b，同理可得＋OA2022＝＋OA2011＝…＝OA1006＋OA1007＝2＝a＋b，故＋＋＋＋…＋OA2021＝1007×2＝1007(a＋b)．
答案：B
12．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.
答案：D
二、填空题
13．(2022·九江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．
则得
此时a＝b＝(－13，－23)．
答案：{(－13，－23)}
14．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________.
解析：设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，∵＝2，∴，解得.
∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
答案：2
15．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.
解析：由于p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以a2＋b2－c2＝ab，＝，
结合余弦定理知，cos C＝，
又0°<C<180°，∴C＝60°.
答案：60°
16．(文科)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.
解析：∵＝＋，
∴－＝－＋＝(－)，
∴＝，∴＝.
答案：
16．(理科)(2022·成都市高三调研)设G为△ABC的重心，若△ABC所在平面内一点P满足＋2＋2＝0，则的值等于________．
解析：依据题意示意结果能得到定值，因此，可以令三角形为等腰直角三角形(如图)，则依据重心坐标公式得重心G的坐标为(1,1)，依据＋2＋2＝0，可设
P(x，y)，则有2(x－3，y)＋2(x，y－3)＝(4x－6,4y－6)＝(x，y)，所以x＝2，y＝2，所以P(2,2)，所以＝2.
答案：2
[备课札记]
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