资源描述
专题五综合测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．若直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：3x－ay＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
解析 由3a－2a＝0知a＝0.
答案 C
2．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析 将方程分别参数a可得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，方程表示过两直线的交点即C点为(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案 C
3．(2021·福建卷)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B.
C. D.
解析 双曲线－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线为y＝±x，所以所求距离为
答案 C
4．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由于抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，由此得＝，解得m＝4，由n2＝m2－22＝12，所以所求的椭圆方程是＋＝1.
答案 B
5．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )
A．5x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．5x2－＝1
解析 由题意得抛物线焦点为(1,0)，
∴a2＋b2＝1.又∵e＝＝＝＝，
∴a2＝，∴b2＝.
∴该双曲线的方程为5x2－y2＝1.
答案 A
6．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
答案 A
7．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，平方得1＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤.
答案 A
8．(2021·全国大纲卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
解析 由题意知k≠0，设直线AB方程为x＝y＋2，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与抛物线方程联立得ky2－8y－16k＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－16.·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝＋(y1－2)(y2－2)＝0，整理并结合y1＋y2＝，y1y2＝－16得k2－4k＋4＝0，解得k＝2，故选D.
答案 D
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析 直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C，A(a,0)，＝，＝.
∵＝，∴－＝，b＝2a，∴c2－a2＝4a2.
∴e2＝＝5，∴e＝，故选C.
答案 C
10．已知抛物线y2＝4px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B. ＋1
C.＋1 D.
解析 如图所示，由抛物线的定义知|AF|＝2p＝2c.再由双曲线的定义知：|AF′|－|AF|＝2a.
又|AF′|＝＝2c，
∴2c－2c＝2a.
∴e＝＝＝＋1.
答案 B
11．已知P为抛物线x2＝4y上一个动点，Q是圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是( )
A．5 B．8
C.－1 D.＋2
解析 由抛物线定义知，点P到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径．抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为－1，即－1.
答案 C
12.
(2021·湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P动身，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )
A．2 B．1
C. D.
解析 以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，则△ABC的重心G，设AP＝t(0<t<4)，则P(t,0)，P关于直线AC、BC的对称点P1(－t,0)，P2(4,4－t)，由题可知P1，P2，G三点共线，所以＝，解得t＝.
答案 D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．
13．(2021·陕西卷)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析 由双曲线的几何性质得a2＝16，b2＝m，e＝＝，则a＝4，b＝，e＝＝＝，故m＝9.
答案 9
14．已知抛物线y2＝ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．
解析 由题意知点A在抛物线y2＝ax上，得1＝a，所以a＝4，故y2＝4x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到此抛物线的焦点的距离为xA＋＝＋1＝.
答案
15．(2021·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
解析 不妨设|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又结合|PF1|＋|PF2|＝6a，从而|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF2|为最小边，从而∠PF1F2＝30°，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac，解得＝.
答案
16．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y＋y＝16＋16＝32.
(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－16k＝0，由题意知，k≠0，则y1＋y2＝，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.
综合(1)(2)知(y＋y)min＝32.
答案 32
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解 (1)由题意得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
∴Δ＝96－8m2>0，∴－2<m<2.
∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝±.
18．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？假如存在，求k的值；假如不存在，请说明理由．
解 (1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．
过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，
代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于
Δ＝2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，
解得－<k<0，即k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由方程①，
x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4，③
而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)，
所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)．
将②③代入上式，解得k＝－.
由(1)知k∉，故没有符合题意的常数k，
使＋与共线．
19．(本小题12分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解 (1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝；
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
20．(本小题12分)(2021·福建卷)如图所示，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．
(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为41，求直线l的方程．
解 解法一：(1)依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
设Pi的坐标为(x，y)，由
得y＝x2，即x2＝10y.
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.
由得x2－10kx－100＝0，
此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由于S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.
又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，
分别代入①和②，得解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.
解法二：(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．
证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
由解得Pi的坐标为.
由于点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)同解法一．
21．(本小题12分)(2021·陕西卷)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
解 (1)如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝.又|O1A|＝，
∴＝，
化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
由于x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，
∴直线l过定点(1,0)．
22．(本小题12分)(2021·广东卷)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解 (1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，则＝，
结合c>0，解得c＝1.所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.
设A (x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2.
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.
同理，可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0.
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y0－2y＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.
联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2.
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋.
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
