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第十二章 其次节
一、选择题
1．(2022·北京理)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上
[答案] B
[解析] 由已知得消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
所以其对称中心为(－1,2)．明显该点在直线y＝－2x上，故选B.
2．直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为( )
A．40° B.50°
C．140° D.130°
[答案] C
[解析] 将直线的参数方程变形得，，∴倾斜角为140°.
3．过点A(2,3)的直线的参数方程为(t为参数)，若此直线与直线x－y＋3＝0相交于点B，则|AB|＝( )
A. B.2
C．3 D.
[答案] B
[解析] 由消去t得，2x－y－1＝0与x－y＋3＝0联立得交点B(4,7)，∴|AB|＝2.
[点评] 本题可将代入x－y＋3＝0得t＝2，由|AB|＝t得|AB|＝2
4．(文)(2021·安徽理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
[答案] B
[解析] 由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为一般方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.
(理)在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是( )
A．ρcosθ＝ B.ρsinθ＝
C．ρ＝cosθ D.ρ＝sinθ
[答案] B
[解析] 设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sin，∴ρsinθ＝，故选B.
5．(2022·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B.2
C. D.2
[答案] D
[解析] 由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.
6．在极坐标系下，直线ρcos＝与曲线ρ＝的公共点个数为( )
A．0 B.1
C．2 D.2或0
[答案] B
[分析] 争辩极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线外形、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合争辩．
[解析] 方程ρcos＝化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
∴x＋y＝2，方程ρ＝，即x2＋y2＝2，明显直线与圆相切，∴选B.
二、填空题
7．(2022·湖南理)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
[答案] ρ(cosθ－sinθ)＝1
[解析] 由题意得曲线C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
又|AB|＝2，故直线l过曲线C的圆心(2,1)，则直线方程为y－1＝x－2，
即x－y－1＝0，故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.
8．(文)(2021·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________．
[答案] (2,5)
[解析] 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，
由解得
故交点坐标为(2,5)．
(理)(2022·广东理)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ与ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
[答案] (1,1)
[解析] 由ρsin2θ＝cosθ可得ρ2sin2θ＝ρcosθ，因此y2＝x，即曲线C1的直角坐标方程为y2＝x；由ρsinθ＝1可得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.解方程组可得所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)．
9．(2022·上海六校二联)若点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．
[答案] (－∞，－]∪[，＋∞)
[解析] 由消去参数θ得x2＋(y－2)2＝1，
设＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数根，∴Δ＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k≤－或k≥.
三、解答题
10．(文)(2022·衡水中学二调)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为一般方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．
[解析] (1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，化为直角坐标方程为：x2＋y2－4x＝0
直线l的直角坐标方程为：y＝x－m
(2)把(t是参数)代入方程x2＋y2－4x＝0, 得t2＋(m－2)t＋m2－4m＝0，
∴t1＋t2＝－(m－2)，t1t2＝m2－4m.
∴|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝.
∴m＝1或m＝3.
(理)(2022·邯郸市一模)已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为(φ为参数)．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．
(1)写出曲线C的一般方程和极坐标方程；
(2)求|AB|的值．
[解析] (1)参数方程(φ为参数)化为一般方程x2＋(y－2)2＝4
一般方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程ρ＝4sinθ.
(2)方法1：由A(ρ1，)，B(ρ2，)可知∠AOB＝，AB为直径，|AB|＝4
方法2：∵(ρ1，)，(ρ2，)在C上，∴A(2，)，B(2，)化为直角坐标A(，3)，B(－，1)，∴两点间距离|AB|＝4.
一、解答题
11．直线(t为参数)被曲线ρ＝cos(θ＋)所截的弦长为________．
[答案]
[解析] 由得直线方程为3x＋4y＋1＝0，
∵ρ＝cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，
即(x－)2＋(y＋)2＝.
圆心到直线的距离d＝，
∴弦长＝2×＝.
12．(2022·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C在点(2，)处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为________．
[答案] x＋y－2＝0
[解析] 依据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x2＋y2＝4，点(2，)⇒(，)，由于点(，)在圆x2＋y2＝4上，故圆在点(，)处的切线方程为x＋y＝4⇒x＋y－2＝0，故填x＋y－2＝0.
13．(2021·广东理，14)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
[答案] ρsin(θ＋)＝
[解析] ∵曲线C的参数方程为(t为参数)，
∴其一般方程为x2＋y2＝2.
又点(1,1)在曲线C上，∴曲线l的斜率k＝－1.
故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
即ρsin(θ＋)＝.
二、解答题
14．(文)(2021·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(－1，2)，方向向量为n＝(－1，)的直线，圆C的方程为ρ＝2cos(θ＋)．
(1)求直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．
[解析] (1)∵n＝(－1，)，∴直线的倾斜角α＝.
∴直线的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)∵ρ＝2(cosθ＋sinθ)＝cosθ＋sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.
∴x2＋y2－x＋y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋2)t＋6＋2＝0.
∴|t1t2|＝6＋2，即|PM|·|PN|＝6＋2.
(理)已知圆M：(θ为参数)的圆心F是抛物线E：的焦点，过F的直线交抛物线于A、B两点，求|AF|·|FB|的取值范围．
[解析] 圆M：的一般方程是(x－1)2＋y2＝1，所以F(1,0)．
抛物线E：的一般方程是y2＝2px，所以＝1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
设过焦点F的直线的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝4x，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0.
所以|AF|·|FB|＝|t1t2|＝.
由于0<sin2φ≤1，
所以|AF|·|FB|的取值范围是[4，＋∞)．
15．(文)(2022·新课标全国Ⅰ理)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解析] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)
直线l的一般方程为：2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为
d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
(理)(2021·呼和浩特市期中)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若直线l与圆C相切，求m的值；
(2)若m＝－1，求圆C上的点到直线l的最小距离．
[解析] (1)圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2＋y2＝2x，
配方可得(x－1)2＋y2＝1.
∴圆心C坐标为(1,0)，半径为r＝1.
直线l的一般方程为x＋2y＝2m－4.
圆心C到直线l的距离为d＝＝，
∵直线l与圆C相切，∴d＝r.
即＝1，解得m＝.
(2)当m＝－1时，d＝＝，
∴d＞r，直线l与圆C相离，
∴圆上的点到直线l的最小距离－1.
16．(文)(2021·甘肃会宁二中模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＋6sinθ－8cosθ＝0(ρ≥0)．
(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)直线l：(t为参数)过曲线C1与y轴负半轴的交点，求与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程．
[解析] (1)曲线C1的一般方程为：＋＝1，
由ρ＋6sinθ－8cosθ＝0得ρ2＋6ρsinθ－8ρcosθ＝0，
∴曲线C2的直角坐标方程为：x2＋y2－8x＋6y＝0.
(2)曲线C1：＋＝1与y轴负半轴的交点坐标为(0，－3)，
又直线l的参数方程为
∴得λ＝，
即直线l的参数方程为
得直线l的一般方程为3x－4y－12＝0，
设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x－4y＋k＝0，
∵曲线C2是圆心为(4，－3)，半径为5的圆，
∴＝5，解得k＝1或k＝－49，
故所求切线方程为：3x－4y＋1＝0或3x－4y－49＝0.
(理)(2022·辽宁省协作校一模)已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－2cosθ.
(1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点M1、M2的极坐标分别是(1，π)、(2，)，直线M1M2与曲线C2相交于P、Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求＋的值．
[解析] (1)曲线C1的一般方程：x2＋＝1
化为极坐标方程：ρ2cos2θ＋＝1
曲线C2的直角坐标方程：(x＋1)2＋y2＝1
(2)在直角坐标系下，M1(－1,0)，M2(0,2)
线段PQ是圆(x＋1)2＋y2＝1的一条直径，
∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ，有OA⊥OB
A，B是椭圆x2＋＝1上的两点，在极坐标系下，
设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，分别代入ρ2cos2θ＋＝1中，
有ρcos2θ＋＝1，ρcos2(θ＋)＋＝1
解得：＝cos2θ＋，＝sin2θ＋.
则＋＝cos2θ＋＋sin2θ＋＝1＋＝
即＋＝.
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