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其次章 第七节
一、选择题
1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
[答案] C
[解析] 能用二分法求零点的函数必需在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C．
2．(文)(2021·保定调研)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
[解析] 解法1：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，∴函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．
解法2：作出函数y＝log3x与y＝－x＋2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B．
(理)(2022·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应值表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]，[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]，[4,5]和[5,6]
[答案] C
[解析] ∵f(x)的图象连续不断，且f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，∴f(x)在[2,3]，[3,4]和[4,5]内都有零点．
3．(文)(2022·广东潮州检测)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象可知，两函数图象有两个交点，∴f(x)有两个零点．
(理)(2022·洛阳统考)已知函数f(x)＝|x2－4|－3x＋m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－6,6)∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(－6,6) D．(－，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝|x2－4|－3x＋m的零点，即方程|x2－4|－3x＋m＝0的根，即方程|x2－4|＝3x－m的根，则y＝|x2－4|和y＝3x－m的图象的交点个数即函数f(x)的零点个数．在同一坐标平面内作出两函数图象(图略)，x＝－2，x＝2时是临界位置，此时m＝－6，m＝6.
当直线与曲线相切，即y＝－x2＋4与y＝3x－m相切，故x2＋3x－4－m＝0，Δ＝9＋4(4＋m)＝0，可得m＝－，
∴m∈(－6,6)∪(－∞，－)．
4．(文)(2021·黄山月考)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3
C．x1<x3<x2 D．x3<x2<x1
[答案] A
[解析] 令f(x)＝x＋2x＝0，由于2x恒大于零，
所以要使得x＋2x＝0，x必需小于零，即x1<0；
令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意义，则x必需大于零，又x＋lnx＝0所以lnx<0，解得0<x<1，即0<x2<1；
令h(x)＝x－－1＝0，得x＝＋1>1，即x3>1，
从而可知x1<x2<x3.
(理)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．c<a<b
[答案] B
[解析] 由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)；∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈，因此，a<c<b.
5．(文)(2022·山西临汾一模)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优待10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
[答案] D
[解析] 设进价为x元，则x(1＋10%)＝132(1－10%)，∴x＝108.
(理)(2022·北京文)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
[答案] B
[解析] 由试验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，
所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B．
6．若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不能确定
[答案] D
[解析] 若函数f(x)在(－2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(－2)·f(2)<0，故由条件不能确定f(－2)·f(2)的值的符号．
二、填空题
7．(文)(2021·荆州市质检)函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－，0)
[解析] 令f ′(x)＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1，则当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f(x)有两个零点，则微小值f(－1)<0，即－e－1－a<0，∴a>－，又x→－∞时，f(x)>0，则a<0，∴a∈(－，0)．
(理)(2021·贵州四校联考)对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点，若二次函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，则实数a的取值范围是________．
[答案] (，＋∞)
[解析] 令f(x)＝x得x2＋(2a－1)x＋a2＝0，若没有不动点需满足Δ＝(2a－1)2－4a2<0，解得a>.故实数a的取值范围是(，＋∞)．
8．(2021·长春调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0,2021]上的零点个数是________．
[答案] 604
[解析] 由f(x)＋f(x＋5)＝16，可知f(x－5)＋f(x)＝16，则f(x＋5)－f(x－5)＝0，所以f(x)是以10为周期的周期函数．∵x∈(－1,4]时，x2∈[0,16]，2x∈(，16]，∴x2－2x<16，∴x∈(－1,4]时，f(x)<16.
∴当x∈(4,9]时，x－5∈(－1,4]，∴f(x－5)<16，
f(x)＝16－f(x＋5)＝16－f(x－5)>0，∴f(x)在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f(x)＝x2－2x在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2021]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x＝2，故f(x)在[0,2021]上的零点个数为3×201＋1＝604.
9．(文)若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
[答案] 0，－
[解析] 由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a，
g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax(x＋)，
则g(x)的零点是x＝0，x＝－.
(理)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
[答案]
[解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3.
因此解得a＝－1，b＝－6，
故f(x)＝x2－x－6.
所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0，
解得－<x<1.
三、解答题
10．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开头使用(即有400公斤不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．
[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，其次天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最终的400公斤原材料需保管x－1天．
∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为
y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝＋6x＋594≥2＋594＝714.
当且仅当＝6x，即x＝10时，取得等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．
(理)当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为削减汽车尾气对城市空气的污染，某市打算对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，缘由是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说格外小．请依据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油状况是一升汽油大约能跑12km；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．
[解析] (1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，
由题意可知，W＝×2.8＝(t≥0且t∈N)，
×3≤P≤×3 (t≥0且t∈N)，
即37.5t≤P≤40t.
又>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．
(2)①令37.5t＋5000＝，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N，∴t＝546.
②令40t＋5000＝，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱．
一、选择题
11．(文)函数f(x)在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f ′(x)的图象也是连续不间断的，则导函数f ′(x)在(－2,2)内有零点( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少3个
[答案] D
[解析] f ′(x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(－2,2)内，有一个极大值和两个微小值，故f(x)在(－2，2)内有三个零点，故选D．
(理)若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
[答案] B
[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．
12．(文)(2021·辽宁五校联考)函数f(x)＝x3－bx2＋1有且仅有两个不同零点，则b的值为( )
A． B．
C． D．不确定
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2－2bx＝x(3x－2b)，令f ′(x)＝0，则x1＝0，x2＝.b<0明显不合题意，∴b>0.又f(0)＝1>0，因此当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，所以f()＝0，解得b＝.
(理)(2022·河北石家庄市模拟)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x－[x]与g(x)＝log4(x－1)的图象，∵g(2)＝0，g(5)＝1，f(2)＝0，f(5)＝0，∴两函数图象有两个交点，即h(x)有两个零点．
13．(2021·安徽)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为( )
A．{2,3} B．{2,3,4}
C．{3,4} D．{3,4,5}
[答案] B
[解析] 如图所示＝＝…＝.可以看作点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))与原点(0,0)连线的斜率．
对于l1，l2，l3满足条件的x分别有2个、3个、4个，故选B．
14．(文)(2021·洛阳统考)已知x1，x2是函数f(x)＝e－x－|lnx|的两个零点，则( )
A．<x1x2<1 B．1<x1x2<e
C．1<x1x2<10 D．e<x1x2<10
[答案] A
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象(图略)，结合图象不难看出，在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈(e－1,1)，e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝lnx2＋lnx1＝ln(x1x2)∈(－1,0)．于是有e－1<x1x2<e0，即<x1x2<1，选A．
(理)(2021·昆明调研)设函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝()x，又函数g(x)＝|xsinπx|，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－，2]上的零点个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 由题意知f(x)，g(x)均为偶函数，所以函数h(x)在[－，2]上的零点个数可转化为在区间[0，]上的零点个数和在区间(0,2]上的零点个数之和．当x∈(0,2]时，令h(x)＝0，即()x＝|xsinπx|，则|sinπx|＝·()x，画出函数y＝|sinπx|和y＝·()x的图象如图所示，由图可知两图象有4个交点，且x＝是其中一个交点，所以函数h(x)在[－，2]上有5个零点．
15．(2022·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[答案] B
[解析] 当a＝0时，f(f(x))＝0有很多个根；当a≠0时，由f(f(x))＝0得f(x)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a<0,0<a<1时直线y＝1与函数f(x)的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B．
二、填空题
16．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为________．
[答案] (，2)
[解析] 依题意得，f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)(a>1)的图象恰有三个不同的交点．结合题意分别画出函数f(x)在(－2,6]上的图象与函数g(x)＝loga(x＋2)(a>1)的图象(如图所示)，结合图象分析可知，要使两函数的图象有三个不同的交点，则有由此解得<a<2，即a的取值范围是(，2)．
三、解答题
17．(文)(2022·太原模拟)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优待价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并商定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲供应的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；
②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；
③每月需各种开支2000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解析] 设该店月利润余额为L，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①
由销量图易得
Q＝
代入①式得L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5(元)，当20<P≤26时，Lmax＝元，此时P＝(元)，
故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n件后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．
(理)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4t时，每吨为1.80元，当用水超过4t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5xt、3xt.
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[解析] (1)当甲户的用水量不超过4t时，即x≤，乙户的用水量也不超过4t，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲户的用水量超过4t，乙户的用水量不超过4t时，即<x≤，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8，
当乙户的用水量超过4t时，即x>，
y＝8×1.8＋3×(8x－8)＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由(1)可知y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x∈[0，]时，y≤f()＝11.52<26.4；
当x∈(，]时，y≤f()＝22.4<26.4；
当x∈(，＋∞)时，
令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，
所以甲户用水量为5x＝7.5t，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5t，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
18．(文)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
[分析] 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．
[解析] ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种状况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
(理)(2022·南京模拟)如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.
(1)求x的取值范围(取1.4)；
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
[解析] (1)由题意得，
解得，即9≤x≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×(x2)2＋ax×πx2＋×[104－π×(x2)2－πx2]＝[π(－x4＋x3－12x2)＋12×104]，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，则f ′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x(x2－x＋6)，
由f ′(x)＝0，解得x＝10或x＝15，
列表如下：
x
9
(9,10)
10
(10,15)
15
f ′(x)
－
0
＋
0
f(x)
微小值
所以当x＝10时，y取最小值．
所以当x＝10时，可使“环岛”的整体造价最低．
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