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其次章 第六节
一、选择题
1．(文)已知函数①y＝3x；②y＝lnx；③y＝x－1；④y＝x.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应挨次全都的是( )
A．②①③④ B．②③①④
C．④①③② D．④③①②
[答案] D
[解析] ①y＝3x为单调增的指数函数，其图象为第三个图，排解A、C；②y＝lnx为单调增的对数函数，其图象为第四个图，排解B，故选D．
(理)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
[答案] C
[解析] y＝f(－|x|)＝
2．(文)(2022·山东临沂月考)幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)
[答案] C
[解析] 由于函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f(x)＝x2，单调增区间为[0，＋∞)，选C．
(理)(2022·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或2
[答案] B
[解析] f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
[点评] 在争辩幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种状况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象确定毁灭在第一象限内，确定不会毁灭在第四象限内，与坐标轴相交时，交点确定是原点．
3．给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B．
4．(文)(2021·江南十校联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( )
[答案] B
[解析] 当x>0时，y＝log2(x＋1)，先画出y＝log2x的图象，再将图象向左平移1个单位，最终作出关于y轴对称的图象，得与之相符的图象为B．
(理)(2022·福建泉州模拟)函数y＝ln的图象为( )
[答案] A
[解析] 由函数定义域易知2x－3≠0，即x≠，排解C，D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，据此排解B，选A．
[点评] 识别函数的图象是一项重要的基本功，可从其奇偶性、特殊点入手排解；也可从其定义域、变化率入手排解；也可以借助基本初等函数争辩其零点和函数值的符号变化规律．
①(2021·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查函数的图象与性质．
∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排解C．∵x2＋1≥1，
则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，
所以排解B、D，选A．
②函数y＝2x－x2的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查了函数图象的性质，考查了同学的识图力气，以及对函数学问的把握程度和数形结合的思维力气，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排解，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A．
③(2022·浙江)在同始终角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 依据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函数，排解A(利用(1,1)点也可以排解)；选项B从对数函数图象看0<a<1，与幂函数图象冲突；选项C从对数函数图象看a>1，与幂函数图象冲突，故选D．
④(2022·山东日照一模)现有四个函数①y＝x·sinx，②y＝x·cosx，③y＝x·|cosx|，④y＝x·2x的部分图象如下，但挨次被打乱，则依据图象从左到右的挨次，对应的函数符号正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③②
C．④①②③ D．③④②①
[答案] A
[解析] ①y＝x·sinx在定义域上是偶函数，其图象关于y轴对称，对应第一个图；②y＝x·cosx在定义域上是奇函数，共图象关于原点对称；③y＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x>0时，其函数值y≥0，对应第四个图；④y＝x·2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0，对应其次个图．故选A．
要结合函数特点，图象特征确定分析的切入点，留意平常练习中总结规律、削减盲目性．
⑤(2022·云南名校一联)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )
[答案] A
[解析] 由函数f(x)在R上是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.
∴f(x)＝ax－a－x.
又f(x)在R上是减函数，∴0<a<1.
∴g(x)＝loga(x＋2)的图象应是A．
5．(2021·唐山月考)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上全部的点( )
A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
[答案] A
[解析] y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象，故选A．
[点评] 识画函数图象是学习和争辩函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，精确 把握基本函数的图象特征，娴熟地进行平移、伸缩、对称变换．
(1)平移变换
①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．
②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．
(2)对称变换
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．
(3)伸缩变换
①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上全部点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上全部点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．
①利用平移识图
函数y＝的图象是( )
[答案] B
[解析] ∵y＝＝1－，∴将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．
②利用对称变换画图
函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________.
[答案] 4
[解析] f1(x)＝|4x－x2|，f2(x)＝a，则函数图象恰有三个不同的交点．
如图所示，当a＝4时满足条件．
6．(文)(2022·长春模拟)函数f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图象可能是( )
[答案] C
[分析] 依据指数函数、对数函数的性质推断a的取值范围，再作出推断．
[解析] ∵f(x)＝ax>0恒成立，且f(3)g(3)<0，
∴g(3)<0，即loga3<0，∴0<a<1，因此图象为C．
(理)(2022·安徽合肥三模)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图．
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
[答案] A
[分析] 依据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数，结合函数的其他性质，如最值点及其他特殊值即可做出推断．
[解析] (1)从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排解B．
又∵g(x)的定义域为{x|x≠0}，故排解C，D．应选A．
二、填空题
7．(文)幂函数y＝f(x)的图象过点，那么f ′(8)的值为________．
[答案] －
[解析] 设f(x)＝xα，由条件知＝4α，∴α＝－，
∴f(x)＝x－，∴f ′(x)＝－x－，∴f ′(8)＝－.
(理)若幂函数f(x)的图象经过点A，设它在A点处的切线为l，则过点A与l垂直的直线方程为________．
[答案] 4x＋4y－3＝0
[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点A，
∴α＝，∴α＝.∴f(x)＝x，
∴f ′(x)＝，∴f ′＝1，
故切线的斜率为1，从而与l垂直的直线斜率为－1，
故过A与l垂直的直线方程为y－＝－1×，
即4x＋4y－3＝0.
8．已知函数f(x)＝x的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a＝________.
[答案] 3
[解析] ∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，
∴<0，∴a>1.
又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，∵a∈N，∴a的最小值为3.
9．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，1)
[解析] 在同始终角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝x＋a的图象如图可知a<1.
三、解答题
10．(文)点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，当x分别为何值时，有f(x)>g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)<g(x)成立？
[解析] 设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．
(理)已知幂函数f(x)的图象过点(，2)且幂函数g(x)＝x m2－2m－2 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．
(1)求f(x)、g(x)的解析式；
(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)<g(x)．
[解析] (1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(，2)，
∴2＝()α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；
又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，
∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.
∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.
(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)>g(x)得，x2>1，
∴x>1或x<－1.
故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．
若g(x)＝x－2，则由f(x)>g(x)得，x2>，∴x4>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．
综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．
一、选择题
11．(文)(2022·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln(x－)的图象是( )
[答案] B
[解析] 自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1<x<0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排解选项A、D．函数y＝x－单调递增，故函数f(x)＝ln(x－)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B．
(理)(2022·山东济南质检)函数y＝的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 由于＝－，所以f(－x)＝－f(x)，函数y＝是奇函数，其图象关于原点对称，排解B．当x>1时，y>0，当x<－1时，y<0.排解A；当x>0时，y＝.又y′＝，由y′＝0得x＝2，当0<x<2时，y′>0，当x>2时，y′<0，
∴原函数在(0,2)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．结合选项可知选C．
12．(2022·浙江杭州一模)设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．(，6] B．(，)
C．(，] D．(，6)
[答案] D
[解析] 由于y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，所以对称轴为x＝3.当3x＋4＝－3时，x＝－，所以要使互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则有－3<f(x1)＝f(x2)＝f(x3)<4，如图所示．
不妨设x1<x2<x3，则有－<x1<0，＝3，x2＋x3＝6，所以<x1＋x2＋x3<6，所以x1＋x2＋x3的取值范围是(，6)，故选D．
[点评] 1.解决本类题的思路是：先在同一坐标系下画出函数y＝f(x)的图象，然后假设x1，x2，x3的大小关系，结合图象求出x1，x2，x3的大致范围，进而求出答案．
2．应用函数图象可解决下列问题
(1)利用函数的图象争辩函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象争辩，但确定要留意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象争辩方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来争辩方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．
(3)利用函数的图象争辩不等式
当不等问题不能直接用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题，从而利用数形结合求解．
13．(文)(2021·黄冈模拟)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为( )
A．，2 B．，4
C．， D．，4
[答案] A
[解析] 观看f(x)的图象结合条件0<m<n，f(m)＝f(n)可知0<m2<m<1<n，
∵f(x)在[m2，n]上的最大值为2，
∴|log2m2|＝2，∴m＝，
又∵f(m)＝f(n)，∴－log2m＝log2n，
∴mn＝1，∴n＝2，故选A．
(理)用min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
[答案] D
[解析] 如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t＝1.
14．(文)(2022·甘肃临夏中学期中、宁都一中月考)已知a>b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga(x＋b)的图象可能为( )
[答案] B
[解析] 由a>b及函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象可知，a>1,0<b<1，所以排解A，D；函数g(x)的图象是由函数u(x)＝logax的图象向左平移b个单位得到的，故选B．
(理)(2022·南丰调研)定义：“函数f(x)为区间D上的凹函数当且仅当f(x)满足以下两条规章：(1)对∀x∈D，f(x)都有意义；(2)对于区间D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf()，那么下列四个图象中，在[0，]上满足凹函数定义的是( )
[答案] A
[解析] 要推断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排解D，在A，B，C这三个选项中可以考虑特殊值法．
取x1＝0，x2＝，则明显选项B，C不满足f(x1)＋f(x2)≥2f()，故选A．
二、填空题
15．幂函数y＝x (p∈Z)为偶函数，且f(1)<f(4)，则实数p＝________.
[答案] 1
[解析] ∵f(1)<f(4)，∴－p2＋p＋>0，
∴－1<p<3，∵p∈Z，∴p＝0,1或2，
又此幂函数为偶函数，∴p＝1.
16．(文)函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，x0所在区间是(a，b)，a、b为相邻的整数，则a＋b＝______.
[答案] 3
[解析] ∵y1＝x3单调增，y2＝x－2单调减，当x＝1时，y1＝1，y2＝2，y1<y2；当x＝2时，y1＝8，y2＝1，y1>y2，∴两函数图象交点坐标x0∈(1,2)，故a＝1，b＝2，a＋b＝3.
(理)(2021·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0<a<b，满足f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．
[答案] (0,2)
[解析] ∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，
即a2＋b2＝4，又a2＋b2>2ab，∴0<ab<2.
三、解答题
17．(2021·临沂月考)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
[分析] 对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．
[解析] (1)由f(0)＝1得，c＝1.
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
∴∴
因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
18．(文)(2021·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，则2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
∴a的取值范围是[3，＋∞)．
(理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤2.
(1)求f(1)的值；
(2)证明a>0，c>0；
(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.
[解析] (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，
当x＝1时，f(1)≥1，
又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤2＝1，
∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.
(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，
a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.
∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，
∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立，
∴∴∴c>0，故a>0，c>0.
(3)证明：∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．
∴f(x)＝x2＋x＋.
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．
∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，
∴2m－1≤－1或2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.
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