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第十二章 其次节
一、选择题
1．(2022·北京理)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
[答案] B
[解析] 由已知得消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
所以其对称中心为(－1,2)．明显该点在直线y＝－2x上，故选B．
2．过点A(2,3)的直线的参数方程为(t为参数)，若此直线与直线x－y＋3＝0相交于点B，则|AB|＝( )
A． B．2
C．3 D．
[答案] B
[解析] 由消去t得，2x－y－1＝0与x－y＋3＝0联立得交点B(4,7)，∴|AB|＝2.
[点评] 本题可将代入x－y＋3＝0得t＝2，由|AB|＝t得|AB|＝2.
3．在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是( )
A．ρcosθ＝ B．ρsinθ＝
C．ρ＝cosθ D．ρ＝sinθ
[答案] B
[解析] 设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sin，∴ρsinθ＝，故选B．
4．(文)(2021·安徽理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
[答案] B
[解析] 由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为一般方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B．
(理)(2022·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A． B．2
C． D．2
[答案] D
[解析] 由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.
5．(文)(2021·山西太原测评)若直线(t为参数)被曲线(θ为参数，θ∈R)所截，则截得的弦的长度是( )
A． B．
C． D．6
[答案] B
[解析] ∵∴x＋2y＋3＝0.
∵∴(x－1)2＋(y－1)2＝9，
∴圆心(1,1)到直线x＋2y＋3＝0的距离
d＝＝，
弦长为2＝，故选B．
(理)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] D
[解析] 由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
二、填空题
6．(文)(2022·广东梅州质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(参数t∈R)．圆的参数方程为(参数θ∈R)，则圆C的圆心到直线l的距离为________．
[答案] 2
[解析] 消参得直线l的一般方程为x＋y－6＝0，圆的一般方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线x＋y－6＝0的距离为d＝＝2，故填2.
(理)(2022·上海六校二联)若点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．
[答案] (－∞，－]∪[，＋∞)
[解析] 由消去参数θ得x2＋(y－2)2＝1，①
设＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数根，∴Δ＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k≤－或k≥.
7．(文)(2022·广东理)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ与ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
[答案] (1,1)
[解析] 由ρsin2θ＝cosθ可得ρ2sin2θ＝ρcosθ，因此y2＝x，即曲线C1的直角坐标方程为y2＝x；由ρsinθ＝1可得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.解方程组可得所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)．
(理)在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为________．
[答案] ρcosθ＝2
[解析] 点的直角坐标x＝2cos＝2，y＝2sin＝2，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，则过点(2,2)的圆的切线方程明显为x＝2，即ρcosθ＝2.
[点评] 假如留意观看可以发觉，点(2，)在圆ρ＝4sinθ上，且圆心在极垂线上，则由数形结合法易得切线方程为ρcosθ＝2.
8．(2022·湖南理)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
[答案] ρ(cosθ－sinθ)＝1
[解析] 由题意得曲线C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
又|AB|＝2，故直线l过曲线C的圆心(2,1)，则直线方程为y－1＝x－2，
即x－y－1＝0，故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.
9．(2022·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C在点(2，)处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为________．
[答案] x＋y－2＝0
[解析] 依据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x2＋y2＝4，点(2，)⇒(，)，由于点(，)在圆x2＋y2＝4上，故圆在点(，)处的切线方程为x＋y＝4⇒x＋y－2＝0，故填x＋y－2＝0.
三、解答题
10．(2022·新课标全国Ⅰ理)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解析] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)
直线l的一般方程为：2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为
d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
一、填空题
11．(2021·广东理，14)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
[答案] ρsin(θ＋)＝
[解析] ∵曲线C的参数方程为(t为参数)，
∴其一般方程为x2＋y2＝2.
又点(1,1)在曲线C上，∴曲线l的斜率k＝－1.
故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
即ρsin(θ＋)＝.
12．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．
[答案] 1
[解析] ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ
∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；
∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，
易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.
(理)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．
[答案] －1
[解析] 直线l方程化为x＋y－4＝0，
⊙C方程化为x2＋y2－4x＋3＝0，
即(x－2)2＋y2＝1.
圆心C(2,0)到直线l的距离d＝＝，
∴|PQ|min＝－1.
13．(文)(2022·深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为________．
[答案] (2,5)
[解析] 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，
由解得或 (舍去)．
故交点坐标为(2,5)．
(理)(2021·江西理，15)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
[答案] ρcos2θ－sinθ＝0
[解析] 由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y＝x2.
由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.
二、解答题
14.(2022·江苏无锡期末)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连接OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．
[解析] 设M(ρ，θ)，θ∈(0，)，
则OP＝2cosθ，PB＝2sinθ.
∴ρ＝OP＋PM＝OP＋PB＝2cosθ＋2sinθ，
∴ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，
化为一般方程为x2＋y2＝2x＋2y，
∴M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2(x>0，y>0)．可知M的轨迹为一个半圆弧，
∴点M的轨迹长度为π.
15．(文)(2022·邯郸市一模)已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为(φ为参数)．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．
(1)写出曲线C的一般方程和极坐标方程；
(2)求|AB|的值．
[解析] (1)参数方程(φ为参数)化为一般方程x2＋(y－2)2＝4，
一般方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程ρ＝4sinθ(θ为参数)
(2)方法1：由A(ρ1，)，B(ρ2，)可知∠AOB＝，AB为直径，|AB|＝4.
方法2：∵(ρ1，)，(ρ2，)在C上，∴A(2，)，B(2，)化为直角坐标A(，3)，B(－，1)，∴两点间距离|AB|＝4.
(理)(2022·扬州一模)在直角坐标系中，参数方程为(t为参数)的直线l，被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cosθ的曲线C所截，求截得的弦长．
[解析] 由题意知，直线l的直角坐标方程为y＝(x－2)，故l的倾斜角为30°，并过点A(2,0)．
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，故C是以(1,0)为圆心、半径为1的圆，且圆C也过点A(2,0)．设直线l与圆C的另一个交点为B，如图所示，
在Rt△OBA中，|AB|＝2cos30°＝.
16．(文)(2022·河北唐山一模)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|＋|EB|.
[解析] (1)在ρ＝2(cosθ＋sinθ)中，
两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，
则C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0，
点E所对的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，
所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝.
(理)(2022·银川一中二模)己知直线l：，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[解析] (1)l的一般方程为y＝(x－1)，C1的一般方程为x2＋y2＝1.
联立方程组，解得l与C1的交点为A(1,0)，B(，－)，
则|AB|＝1.
(2)C2的参数方程为，(θ为参数)．故点P的坐标是(cosθ，sinθ)，从而点P到直线l的距离是
d＝
＝[sin(θ－)＋2]，
由此当sin(θ－)＝－1时， d取得最小值，且最小值为(－1)．
17．(文)(2022·太原五中月考)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)，
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
[解析] (1)当α＝时，C1的一般方程为y＝(x－1)，C2的一般方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．
(2)C1的一般方程为xsinα－ycosα－sinα＝0，
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为(α为参数)
P点轨迹的一般方程为(x－)2＋y2＝，故P点是圆心为(，0)，半径为的圆．
(理)(2022·辽宁省协作校一模)已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－2cosθ.
(1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点M1、M2的极坐标分别是(1，π)、(2，)，直线M1M2与曲线C2相交于P、Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求＋的值．
[解析] (1)曲线C1的一般方程：x2＋＝1，
化为极坐标方程：ρ2cos2θ＋＝1，
曲线C2的直角坐标方程：(x＋1)2＋y2＝1.
(2)在直角坐标系下，M1(－1,0)，M2(0,2)，
线段PQ是圆(x＋1)2＋y2＝1的一条直径，
∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ，有OA⊥OB，
A，B是椭圆x2＋＝1上的两点，在极坐标系下，
设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，分别代入ρ2cos2θ＋＝1中，
有ρcos2θ＋＝1，ρcos2(θ＋)＋＝1，
解得：＝cos2θ＋，＝sin2θ＋.
则＋＝cos2θ＋＋sin2θ＋＝1＋＝，
即＋＝.
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