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其次章 第六节
一、选择题
1．(文)(2022·山东临沂月考)幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)
[答案] C
[解析] 由于函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f(x)＝x2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.
(理)(2022·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或2
[答案] B
[解析] f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
[点评] 在争辩幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种状况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象确定毁灭在第一象限内，确定不会毁灭在第四象限内，与坐标轴相交时，交点确定是原点．
2．(2022·福建泉州模拟)函数y＝ln的图象为( )
[答案] A
[解析] 由函数定义域易知2x－3≠0，即x≠，排解C，D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，据此排解B，选A.
[点评] 识别函数的图象是一项重要的基本功，可从其奇偶性、特殊点入手排解；也可从其定义域、变化率入手排解；也可以借助基本初等函数争辩其零点和函数值的符号变化规律．
①(2021·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查函数的图象与性质．
∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排解C.∵x2＋1≥1，
则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，
所以排解B、D，选A.
②函数y＝2x－x2的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查了函数图象的性质，考查了同学的识图力气，以及对函数学问的把握程度和数形结合的思维力气，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排解，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.
③(2022·浙江)在同始终角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 依据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函数，排解A(利用(1,1)点也可以排解)；选项B从对数函数图象看0<a<1，与幂函数图象冲突；选项C从对数函数图象看a>1，与幂函数图象冲突，故选D.
要留意结合函数特点，图象特征确定分析的切入点，留意平常练习中总结规律、削减盲目性．
④(2022·云南名校一联)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )
[答案] A
[解析] 由函数f(x)在R上是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.
∴f(x)＝ax－a－x.
又f(x)在R上是减函数，∴0<a<1.
∴g(x)＝loga(x＋2)的图象应是A.
3．要将函数y＝1＋的图象变换成幂函数y＝x的图象，需要将y＝1＋的图象( )
A．向左平移一个单位，再向上平移一个单位
B．向左平移一个单位，再向下平移一个单位
C．向右平移一个单位，再向上平移一个单位
D．向右平移一个单位，再向下平移一个单位
[答案] B
[解析] 可运用逆向思维．假如由y＝x的图象得到y＝1＋的图象，需要将y＝x的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可．现在是反过来的问题，因此，要得到函数y＝x的图象，需要将y＝1＋的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位，故选B.
[点评] 画函数图象是学习和争辩函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，精确 把握基本函数的图象特征，娴熟地进行平移、伸缩、对称变换．
(1)平移变换
①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．
②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．
(2)对称变换
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．
(3)伸缩变换
①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上全部点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上全部点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．
1°利用平移识图
函数y＝的图象是( )
[答案] B
[解析] ∵y＝＝1－，∴将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．
2°利用对称变换画图
函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________.
[答案] 4
[解析] f1(x)＝|4x－x2|，f2(x)＝a，则函数图象恰有三个不同的交点．
如图所示，当a＝4时满足条件．
4．(文)(2022·盱眙中学月考)当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．f(x)<g(x)<h(x) B．f(x)<h(x)<g(x)
C．h(x)<g(x)<f(x) D．g(x)<h(x)<f(x)
[答案] A
[解析] 用特殊值法求解．令x＝，则f()＝()1.1，g()＝()0.9，h()＝()－2.由指数函数y＝()x的单调性知f()<g()<h()，故选A.
(理)已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
[答案] A
[解析] 记f(x)＝lnx－x，则f ′(x)＝－1＝，
当0<x<1时，f ′(x)>0，
所以函数f(x)在(0,1)上是增函数．
∵1>>>>0，∴a>b>c，选A.
5．(文)(2022·长春模拟)函数f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图象可能是( )
[答案] C
[分析] 依据指数函数、对数函数的性质推断a的取值范围，再作出推断．
[解析] ∵f(x)＝ax>0恒成立，且f(3)g(3)<0，
∴g(3)<0，即loga3<0，∴0<a<1，因此图象为C.
(理)(2022·安徽合肥三模)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图．
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
[答案] A
[分析] 依据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数，结合函数的其他性质，如最值点及其他特殊值即可做出推断．
[解析] (1)从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排解B.
又∵g(x)的定义域为{x|x≠0}，故排解C，D.应选A.
6．(2021·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴3m－5<0，∴m<，
∵m∈N，∴m＝0或1.
又f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴m＝1，故选B.
二、填空题
7．(文)若幂函数f(x)的图象经过点A，则它在A点处的切线方程为________．
[答案] 16x－8y＋1＝0
[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点A，
∴α＝，∴α＝.∴f(x)＝x，
∴f ′(x)＝，∴f ′＝2，
故切线方程为y－＝2×，
即16x－8y＋1＝0.
(理)幂函数y＝(p∈Z)为偶函数，且f(1)<f(4)，则实数p＝________.
[答案] 1
[解析] ∵f(1)<f(4)，∴－p2＋p＋>0，
∴－1<p<3，∵p∈Z，∴p＝0,1或2，
又此幂函数为偶函数，∴p＝1.
8．(2022·江苏盐城模拟)若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－，2)
[解析] 在同一坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，如图所示．
若a≤0，则其临界状况为g(x)＝|x－a|的图象与抛物线f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·(a＋2)＝0，解得a＝－；若a>0，则其临界状况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是(－，2)．
9．(文)已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－1)∪(3,5)
[解析] 由题意，得
或或
∴a<－1或3<a<5.
(理)(2021·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0<a<b，满足f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．
[答案] (0,2)
[解析] ∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，
即a2＋b2＝4，又a2＋b2>2ab，∴0<ab<2.
10．(文)(2021·成都七中期中)已知指数函数y＝f(x)，对数函数y＝g(x)和幂函数y＝h(x)的图象都过P(，2)，假如f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________.
[答案]
[解析] 设f(x)＝ax，g(x)＝logbx，h(x)＝xα，则f()＝a＝2，g()＝logb＝2，h()＝()α＝2，∴a＝4，b＝，c＝－1.
由f(x1)＝4x1＝4得x1＝1，由g(x2)＝logx2＝4得x2＝，
由h(x3)＝x＝4得x3＝，∴x1＋x2＋x3＝.
(理)(2022·浙江杭州一模)设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
[答案] (，6)
[解析] 由于y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，所以对称轴为x＝3.当3x＋4＝－3时，x＝－，所以要使互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则有－3<f(x1)＝f(x2)＝f(x3)<4，如图所示．
不妨设x1<x2<x3，则有－<x1<0，＝3，x2＋x3＝6，所以<x1＋x2＋x3<6，所以x1＋x2＋x3的取值范围是(，6)．
[点评] 1.解决本类题的思路是：先在同一坐标系下画出函数y＝f(x)的图象，然后假设x1，x2，x3的大小关系，结合图象求出x1，x2，x3的大致范围，进而求出答案．
2．应用函数图象可解决下列问题
(1)利用函数的图象争辩函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象争辩，但确定要留意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象争辩方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来争辩方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．
(3)利用函数的图象争辩不等式
当不等问题不能直接用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题，从而利用数形结合求解.
一、选择题
11．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(1,2) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 设f(x)＝x3－x－2，则f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以x0在区间(1,2)内．
12．(文)(2022·山东济南质检)函数y＝的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 由于＝－，所以f(－x)＝－f(x)，函数y＝是奇函数，其图象关于原点对称，排解B.当x>1时，y>0，当x<－1时，y<0.排解A；当x>0时，y＝.又y′＝，由y′＝0得x＝2，当0<x<2时，y′>0，当x>2时，y′<0，
∴原函数在(0,2)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．结合选项可知选C.
(理)(2022·河北石家庄调研)函数f(x)＝sinx·ln|x|的部分图象为( )
[答案] A
[解析] ∵f(－x)＝sin(－x)ln|－x|＝－sinxln|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故C，D错；令f(x)＝0，则sinx＝0或ln|x|＝0，∴x＝kπ(k∈Z)或x＝±1，∴当x＝时，f(x)＝sin×ln||<0，∴选A.
13．(文)函数y＝lncosx(－<x<)的图象是( )
[答案] A
[解析] 由已知得0<cosx≤1，∴ln cosx≤0，排解B、C、D.故选A.
(理)(2022·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln(x－)的图象是( )
[答案] B
[解析] 自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1<x<0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排解选项A、D.函数y＝x－单调递增，故函数f(x)＝ln(x－)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.
14．(文)(2022·福建福州质检)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋sinx B．f(x)＝
C．f(x)＝xcosx D．f(x)＝x(x－)(x－)
[答案] C
[解析] 解法1：留意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D不正确；对于A，f ′(x)＝1＋cosx≥0，因此函数f(x)＝x＋sinx是增函数，选项A不正确；对于B，由于f(x)的图象过原点，因此选项B不正确．综上所述知选C.
解法2：由图象过点(，0)，(0,0)，(－，0)，依次排解A、B、D选项，选C.
(理)已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD( )
A．相交，且交点在坐标原点
B．相交，且交点在第Ⅰ象限
C．相交，且交点在第Ⅱ象限
D．相交，且交点在第Ⅳ象限
[答案] A
[解析] 易求得两直线方程分别为AB：y＝x、CD：y＝x，则其交点为坐标原点．如图所示．
15．(文)(2021·银川市唐徕回中月考)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且a>b，由图象知0<a<1，b<－1，∴g(x)＝ax＋b单调减，排解C、D，且g(0)＝1＋b<0，排解B，故选A.
(理)(2021·沈阳铁路试验中学期中)在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )
[答案] D
[解析] 若a>1，则y＝ax的图象应为A，C，此时y＝sinax的周期T<2π，故排解A、C；∴0<a<1，∴T>2π，故排解B，选D.
二、填空题
16．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．
[答案] ②④⑤
[解析] 由已知log2a＝log3b，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝log3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．
三、解答题
17．(文)(2021·开封质检)已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)推断f(x)的奇偶性；
(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．
[解析] (1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.
∴m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－x，
∵f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，
f(－x)＝－＋x＝－(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
(理)(2021·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，则2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
∴a的取值范围是[3，＋∞)．
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