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其次章 第六节
一、选择题
1.(文)(2022·山东临沂月考)幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(-2,+∞) B.[-1,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-2)
[答案] C
[解析] 由于函数过点(2,4),所以4=2α,α=2,故f(x)=x2,单调增区间为[0,+∞),选C.
(理)(2022·湖北孝感调研)函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )
A.-1 B.2
C.3 D.-1或2
[答案] B
[解析] f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数⇒m2-m-1=1⇒m=-1或m=2.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以m=2.
[点评] 在争辩幂函数y=xα的图象、性质时,应考虑α的三种状况:α>0,α=0和α<0.幂函数的图象确定毁灭在第一象限内,确定不会毁灭在第四象限内,与坐标轴相交时,交点确定是原点.
2.(2022·福建泉州模拟)函数y=ln的图象为( )
[答案] A
[解析] 由函数定义域易知2x-3≠0,即x≠,排解C,D项.当x>时,函数为减函数,当x<时,函数为增函数,据此排解B,选A.
[点评] 识别函数的图象是一项重要的基本功,可从其奇偶性、特殊点入手排解;也可从其定义域、变化率入手排解;也可以借助基本初等函数争辩其零点和函数值的符号变化规律.
①(2021·福建高考)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查函数的图象与性质.
∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),
∴f(x)是偶函数,排解C.∵x2+1≥1,
则ln(x2+1)≥0,且当x=0时f(0)=0,
所以排解B、D,选A.
②函数y=2x-x2的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查了函数图象的性质,考查了同学的识图力气,以及对函数学问的把握程度和数形结合的思维力气,令2x=x2,y=2x与y=x2,由图看有3个交点,∴B、C排解,又x=-2时2-2-(-2)2<0,故选A.
③(2022·浙江)在同始终角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 依据对数函数性质知,a>0,所以幂函数是增函数,排解A(利用(1,1)点也可以排解);选项B从对数函数图象看0<a<1,与幂函数图象冲突;选项C从对数函数图象看a>1,与幂函数图象冲突,故选D.
要留意结合函数特点,图象特征确定分析的切入点,留意平常练习中总结规律、削减盲目性.
④(2022·云南名校一联)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是( )
[答案] A
[解析] 由函数f(x)在R上是奇函数,可得f(-x)=-f(x),即(k-1)a-x-ax=(1-k)ax+a-x,∴k=2.
∴f(x)=ax-a-x.
又f(x)在R上是减函数,∴0<a<1.
∴g(x)=loga(x+2)的图象应是A.
3.要将函数y=1+的图象变换成幂函数y=x的图象,需要将y=1+的图象( )
A.向左平移一个单位,再向上平移一个单位
B.向左平移一个单位,再向下平移一个单位
C.向右平移一个单位,再向上平移一个单位
D.向右平移一个单位,再向下平移一个单位
[答案] B
[解析] 可运用逆向思维.假如由y=x的图象得到y=1+的图象,需要将y=x的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位即可.现在是反过来的问题,因此,要得到函数y=x的图象,需要将y=1+的图象向下平移一个单位,再向左平移一个单位,故选B.
[点评] 画函数图象是学习和争辩函数的基本功之一.变换法作图是应用基本函数的图象,通过平移、伸缩、对称等变换,作出相关函数的图象.应用变换法作图,要求我们熟记基本函数的图象及其性质,精确 把握基本函数的图象特征,娴熟地进行平移、伸缩、对称变换.
(1)平移变换
①左右平移:y=f(x-a)的图象,可由y=f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到.
②上下平移:y=f(x)+b的图象,可由y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到.
(2)对称变换
①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
④y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
⑤y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变.
⑥y=f(|x|)的图象可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y轴的对称性,作出x<0的图象.
(3)伸缩变换
①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上全部点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到.
②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上全部点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变而得到.
1°利用平移识图
函数y=的图象是( )
[答案] B
[解析] ∵y==1-,∴将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=1-的图象.
2°利用对称变换画图
函数f(x)=|4x-x2|-a恰有三个零点,则a=________.
[答案] 4
[解析] f1(x)=|4x-x2|,f2(x)=a,则函数图象恰有三个不同的交点.
如图所示,当a=4时满足条件.
4.(文)(2022·盱眙中学月考)当0<x<1时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是( )
A.f(x)<g(x)<h(x) B.f(x)<h(x)<g(x)
C.h(x)<g(x)<f(x) D.g(x)<h(x)<f(x)
[答案] A
[解析] 用特殊值法求解.令x=,则f()=()1.1,g()=()0.9,h()=()-2.由指数函数y=()x的单调性知f()<g()<h(),故选A.
(理)已知a=ln-,b=ln-,c=ln-,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
[答案] A
[解析] 记f(x)=lnx-x,则f ′(x)=-1=,
当0<x<1时,f ′(x)>0,
所以函数f(x)在(0,1)上是增函数.
∵1>>>>0,∴a>b>c,选A.
5.(文)(2022·长春模拟)函数f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图象可能是( )
[答案] C
[分析] 依据指数函数、对数函数的性质推断a的取值范围,再作出推断.
[解析] ∵f(x)=ax>0恒成立,且f(3)g(3)<0,
∴g(3)<0,即loga3<0,∴0<a<1,因此图象为C.
(理)(2022·安徽合肥三模)函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图.
则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是( )
[答案] A
[分析] 依据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数,结合函数的其他性质,如最值点及其他特殊值即可做出推断.
[解析] (1)从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数,故f(x)·g(x)是奇函数,排解B.
又∵g(x)的定义域为{x|x≠0},故排解C,D.应选A.
6.(2021·哈尔滨模拟)幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析] ∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∴3m-5<0,∴m<,
∵m∈N,∴m=0或1.
又f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,∴m=1,故选B.
二、填空题
7.(文)若幂函数f(x)的图象经过点A,则它在A点处的切线方程为________.
[答案] 16x-8y+1=0
[解析] 设f(x)=xα,∵f(x)的图象过点A,
∴α=,∴α=.∴f(x)=x,
∴f ′(x)=,∴f ′=2,
故切线方程为y-=2×,
即16x-8y+1=0.
(理)幂函数y=(p∈Z)为偶函数,且f(1)<f(4),则实数p=________.
[答案] 1
[解析] ∵f(1)<f(4),∴-p2+p+>0,
∴-1<p<3,∵p∈Z,∴p=0,1或2,
又此幂函数为偶函数,∴p=1.
8.(2022·江苏盐城模拟)若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则实数a的取值范围是________.
[答案] (-,2)
[解析] 在同一坐标系中画出函数f(x)=2-x2,g(x)=|x-a|的图象,如图所示.
若a≤0,则其临界状况为g(x)=|x-a|的图象与抛物线f(x)=2-x2相切.由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0,由Δ=1+4·(a+2)=0,解得a=-;若a>0,则其临界状况为两函数图象的交点为(0,2),此时a=2.结合图象可知,实数a的取值范围是(-,2).
9.(文)已知函数f(x)=x-1,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是________.
[答案] (-∞,-1)∪(3,5)
[解析] 由题意,得
或或
∴a<-1或3<a<5.
(理)(2021·衡阳联考)设f(x)=|2-x2|,若0<a<b,满足f(a)=f(b),则ab的取值范围是________.
[答案] (0,2)
[解析] ∵0<a<b,f(a)=f(b),∴2-a2=b2-2,
即a2+b2=4,又a2+b2>2ab,∴0<ab<2.
10.(文)(2021·成都七中期中)已知指数函数y=f(x),对数函数y=g(x)和幂函数y=h(x)的图象都过P(,2),假如f(x1)=g(x2)=h(x3)=4,那么x1+x2+x3=________.
[答案]
[解析] 设f(x)=ax,g(x)=logbx,h(x)=xα,则f()=a=2,g()=logb=2,h()=()α=2,∴a=4,b=,c=-1.
由f(x1)=4x1=4得x1=1,由g(x2)=logx2=4得x2=,
由h(x3)=x=4得x3=,∴x1+x2+x3=.
(理)(2022·浙江杭州一模)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是________.
[答案] (,6)
[解析] 由于y=x2-6x+6=(x-3)2-3,所以对称轴为x=3.当3x+4=-3时,x=-,所以要使互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则有-3<f(x1)=f(x2)=f(x3)<4,如图所示.
不妨设x1<x2<x3,则有-<x1<0,=3,x2+x3=6,所以<x1+x2+x3<6,所以x1+x2+x3的取值范围是(,6).
[点评] 1.解决本类题的思路是:先在同一坐标系下画出函数y=f(x)的图象,然后假设x1,x2,x3的大小关系,结合图象求出x1,x2,x3的大致范围,进而求出答案.
2.应用函数图象可解决下列问题
(1)利用函数的图象争辩函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象争辩,但确定要留意性质与图象特征的对应关系.
(2)利用函数的图象争辩方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来争辩方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
(3)利用函数的图象争辩不等式
当不等问题不能直接用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题,从而利用数形结合求解.
一、选择题
11.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( )
A.(0,1) B.(2,3)
C.(1,2) D.(3,4)
[答案] C
[解析] 设f(x)=x3-x-2,则f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以x0在区间(1,2)内.
12.(文)(2022·山东济南质检)函数y=的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 由于=-,所以f(-x)=-f(x),函数y=是奇函数,其图象关于原点对称,排解B.当x>1时,y>0,当x<-1时,y<0.排解A;当x>0时,y=.又y′=,由y′=0得x=2,当0<x<2时,y′>0,当x>2时,y′<0,
∴原函数在(0,2)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数.结合选项可知选C.
(理)(2022·河北石家庄调研)函数f(x)=sinx·ln|x|的部分图象为( )
[答案] A
[解析] ∵f(-x)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数,故C,D错;令f(x)=0,则sinx=0或ln|x|=0,∴x=kπ(k∈Z)或x=±1,∴当x=时,f(x)=sin×ln||<0,∴选A.
13.(文)函数y=lncosx(-<x<)的图象是( )
[答案] A
[解析] 由已知得0<cosx≤1,∴ln cosx≤0,排解B、C、D.故选A.
(理)(2022·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)=ln(x-)的图象是( )
[答案] B
[解析] 自变量x满足x-=>0,当x>0时可得x>1,当x<0时可得-1<x<0,即函数f(x)的定义域是(-1,0)∪(1,+∞),据此排解选项A、D.函数y=x-单调递增,故函数f(x)=ln(x-)在(-1,0),(1,+∞)上单调递增,故选B.
14.(文)(2022·福建福州质检)函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x+sinx B.f(x)=
C.f(x)=xcosx D.f(x)=x(x-)(x-)
[答案] C
[解析] 解法1:留意到题中所给曲线关于原点对称,因此相应的函数是奇函数,选项D不正确;对于A,f ′(x)=1+cosx≥0,因此函数f(x)=x+sinx是增函数,选项A不正确;对于B,由于f(x)的图象过原点,因此选项B不正确.综上所述知选C.
解法2:由图象过点(,0),(0,0),(-,0),依次排解A、B、D选项,选C.
(理)已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别为A,B,与函数y=lgx图象的交点分别为C,D,则直线AB与CD( )
A.相交,且交点在坐标原点
B.相交,且交点在第Ⅰ象限
C.相交,且交点在第Ⅱ象限
D.相交,且交点在第Ⅳ象限
[答案] A
[解析] 易求得两直线方程分别为AB:y=x、CD:y=x,则其交点为坐标原点.如图所示.
15.(文)(2021·银川市唐徕回中月考)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如下图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )
[答案] A
[解析] ∵f(x)=(x-a)(x-b)的两个零点为a和b且a>b,由图象知0<a<1,b<-1,∴g(x)=ax+b单调减,排解C、D,且g(0)=1+b<0,排解B,故选A.
(理)(2021·沈阳铁路试验中学期中)在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sinax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是( )
[答案] D
[解析] 若a>1,则y=ax的图象应为A,C,此时y=sinax的周期T<2π,故排解A、C;∴0<a<1,∴T>2π,故排解B,选D.
二、填空题
16.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能的关系式是________.
[答案] ②④⑤
[解析] 由已知log2a=log3b,在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=log3x的图象,当纵坐标相等时,可以得到相应横坐标的大小关系,从而得出②④⑤可能成立.
三、解答题
17.(文)(2021·开封质检)已知函数f(x)=-xm,且f(4)=-.
(1)求m的值;
(2)推断f(x)的奇偶性;
(3)推断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并赐予证明.
[解析] (1)∵f(4)=-,∴-4m=-.
∴m=1.
(2)由(1)知f(x)=-x,
∵f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},
f(-x)=-+x=-(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,
证明如下:
任取0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)
=(-x1)-(-x2)=(x2-x1)(+1).
∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,+1>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
即f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减.
(理)(2021·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
[解析] (1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,则2-y=-x-+2,
∴y=f(x)=x+(x≠0).
(2)g(x)=f(x)+=x+,
g′(x)=1-.
∵g(x)在(0,2]上为减函数,
∴1-≤0在(0,2]上恒成立,
即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,
∴a+1≥4,即a≥3,
∴a的取值范围是[3,+∞).
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