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计算导数 同步练习
一,选择题:
1．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A、 B、 2 C、3 D、0
2、设P点是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
3、已知函数，若，则实数a的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 = ( )
A．2 B．1 C． D．
5．若曲线y=f (x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为2x－y+1=0，则（ ）
（A）f ’(x0)>0 （B）f ’(x0)<0 （C）f ’(x0)=0 （D）f ’(x0)不存在
6．设曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 （ ）
A．（3，9） B．（－3，9） C．（） D．（）
7．函数
A．4x+3 B．4x-1 C．4x-5 D．4x-3
8、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
A B C D
9、设是可导函数，且 （ ）
A． B．－1 C．0 D．－2
10、已知曲线在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（ ）
A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定
11、设函数，当自变量由转变到时，函数值的转变量是（ ）
A B C D
12、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（ ）
A 2 B 2 C D 2+
二,解答题:
13. 已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积..
14.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，假如直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段相互平分.
答案:
1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 11.D 12.C
13. 解：y′=2x+1.
直线l1的方程为y=3x－3.
设直线l2过曲线y=x2+x－2上 的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2
由于l1⊥l2，则有2b+1=
所以直线l2的方程为
（II）解方程组 得
所以直线l1和l2的交点的坐标为
l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.
所以所求三角形的面积
14.分析：依据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可.
（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：
y－(x+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x ①
函数y=－x2+a的导数y′=－2x, 曲线C2 在点Q（x2,－x+a）的切线方程是
即y－(－x+a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x+a . ②
假如直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，
x1+1=－x2
所以
－ x=x+a.
消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.
若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x1=－，此时点P与Q重合.
即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x－ .
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.
其中P在C1上，Q在C2上，则有
x1+x2=－1,
y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a .
线段PQ的中点为
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′相互平分.
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