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课时提升作业(五十九)
一、选择题
1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=( )
(A)-2 (B) (C)-4 (D)
2.(2021·郑州模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
(A)［，］ (B)［－2，2］
(C)［－1，1］ (D)［－4，4］
3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )
(A)1 (B) (C)2 (D)
4.(2021·邢台模拟)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
5.(2021·武汉模拟)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为
( )
(A) (B) +1 (C) -2 (D) -1
6.(力气挑战题)若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1,F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1·e2的取值范围是( )
(A)(0,+∞) (B)(,+∞) (C)(,+∞) (D)(,+∞)
二、填空题
7.(2021·重庆模拟)过椭圆C：(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若,则椭圆离心率的取值范围为___________.
8.(2021·长春模拟)设连接双曲线与(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1，连接其4个焦点的四边形面积为S2，则的最大值为________.
9.过抛物线y2=2px(p>0)上确定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为
_____________.
三、解答题
10.如图，已知椭圆C：(a＞1)的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.
11.(2021·漳州模拟)已知椭圆C:(a＞b＞0)的短轴长为2,且与抛物线有共同的焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求线段GH的长度的最小值.
(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1,若存在,求出点T的坐标，若不存在，说明理由.
12.(力气挑战题)给定椭圆C：(a>b>0),称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(，0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆” 上的一个动点，过动点P作直线l1，l2使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；
②求证：|MN|为定值.
答案解析
1.【解析】选D.由y=2x2得,其焦点坐标为F(0,)，取直线y=,则其与y=2x2交于A(-，)，B(, ),∴x1x2=(-)·()＝-.
【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧
解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题，一般取其特殊位置探究其值即可.
2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ=64-64k2≥0，解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1.
3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,
由题意，·2c·b＝1，
∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.
∴a≥.∴长轴的最小值为2.
4.【解析】选C，设P(x0,y0)，则即，又∵F(-1,0),
∴又x0∈［-2,2］，
∴∈［2,6］，所以max=6.
5.【思路点拨】画出图象，通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线l的垂线，此时d1+d2最小，依据抛物线方程求得F的坐标，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.
【解析】选D.如图所示，由抛物线的定义知，|PF|＝d1+1,
∴d1＝|PF|-1,
d1+d2=d2+|PF|-1,明显当直线PF垂直于直线x-y+4=0时，d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1，0)，所以.
∴(d1+d2)min=-1.
6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10，|PF2|=r2=2c，
且r1＞r2．；
．
∵三角形两边之和大于第三边，∴2c+2c＞10，即c＞，
∴，因此选B.
7.【解析】由题意知：B(c,),
∴.
又,∴,解得.
答案：(，)
8.【思路点拨】将用a,b表示，利用基本不等式求最值.
【解析】S1＝·2a·2b=2ab,S2=·2·
2=2(a2+b2),(a>0,b>0),
∴ (当且仅当a=b时取等号).
答案：
9.【解析】设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,
由y12=2px1,y02=2px0,得,
同理,
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
因此,即y1+y2=-2y0(y0>0),
那么.
答案：-2
10.【解析】(1)依题意有
故椭圆C的方程为：.
(2)由，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).
将y=kx+1代入椭圆C的方程并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或,因此P的坐标为(,+1),
即(,),
将上式中的k换成-,得Q(,).
直线l的方程为,
化简得直线l的方程为,
因此直线l过定点N(0，- ).
11.【解析】(1)由已知得,抛物线的焦点为(,0)，则c=.又b=1,
由a2-b2=c2，可得a2=4.
故椭圆C的方程为
(2)直线AP的斜率k明显存在,且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k(x+2),从而G(,3).
由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
设P(x1,y1),则(-2)x1=
所以从而.
即.又B(2,0),
则直线PB的斜率为.
由得
所以H(-12k+2,3).
故|GH|=|-2+12k-2|=|+12k-4|.
又k＞0，+12k≥=12.
当且仅当=12k,即k=时等号成立.
所以当k=时,线段GH的长度取最小值8.
(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k=.
则直线AP的方程为x-2y+2=0,此时P(0,1),|AP|=.
若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1,则点T到直线AP的距离等于
所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.
设直线l:y=x+t.
则由得x2+2tx+2t2-2=0.
Δ=4t2-8(t2-1)≥0.
即t2≤2,由平行线间的距离公式，得
解得t=0或t=2(舍去).
可求得T()或T(-).
12.【解析】(1)∵c=,a=,∴b=1.
∴椭圆方程为,
准圆方程为x2+y2=4.
(2)①由于准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0，2)，
设过点P(0，2)且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,
所以由,消去y,
得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
由于椭圆与y=kx+2只有一个公共点，
所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1.
所以l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.
②(ⅰ)当l1, l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，
由于l1与椭圆只有一个公共点，
则其方程为x=±.
当l1方程为x=时，
此时l1与准圆交于点(，1)，(，-1)，
此时经过点(，1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),
即l2为y=1(或y=-1),明显直线l1, l2垂直；
同理可证l1方程为时，直线l1, l2垂直.
(ⅱ)当l1, l2都有斜率时，设点P(x0,y0),
其中x02+y02＝4.
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
则 消去y,
得(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.
由Δ＝0化简整理得：(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0.
由于x02+y02＝4，
所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0.
设l1, l2的斜率分别为t1,t2,
由于l1, l2与椭圆只有一个公共点，
所以t1,t2满足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
所以t1·t2＝-1，即l1，l2垂直.
综合(ⅰ)(ⅱ)知：由于l1, l2经过点P(x0,y0)，
又分别交其准圆于点M，N，且l1, l2垂直，
所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，
所以｜MN|=4.
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