2021高考数学(福建-理)一轮作业：9.5-椭圆.docx

§9.5 椭圆
一、选择题
1．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析 ∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8.
∴e＝＝.
答案 D
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.
答案　A
3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)．
A. B. C. D.
解析　先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.
答案　A
4．设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　)．
A．1 B. C．2 D.
解析　由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.
答案　D
5. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．

答案　D
6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)．
A. B. C. D.
解析　在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝.
答案　A
7．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)
A. B.
C. D.
解析 依据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为.
答案　B
二、填空题
8．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.
答案 4
9．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．
解析 如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcos30°＝c，BP＝c，依据椭圆定义AP＋BP＝2a，故c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1.

答案 －1
10．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析　由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，
即2kx－2y－2k＋1＝0，
由＝1，
解得k＝－，
所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，
求得切点A，
易知另一切点B(1,0)，
则直线AB的方程为y＝－2x＋2.
令y＝0得右焦点为(1,0)，
令x＝0得上顶点为(0,2)．
∴a2＝b2＋c2＝5，
故得所求椭圆方程为＋＝1.
答案　＋＝1
11．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·
(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①
将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.
答案　
12. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.假如线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．
解析 不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.
答案 7
三、解答题
13．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围．
解析 (1)由题意知a＝2，b＝1，c＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)．
设P(x，y)(x>0，y>0)，
＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
由·＝－，得x2＋y2－3＝－.
联立解得点P(1，)．
(2)可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋2代入椭圆方程，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.
由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得k2>.　①
又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.
即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k(－)＋4＝>0.
所以－<k2<4.　②
由①②可知<k2<4，
故k的取值范围是(－2，－)∪(，2)．
14．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
解析　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，∴x2＋2＝25，
即C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为|AB|＝
＝
＝ ＝.
15．设A，B分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．
解析 (1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
设椭圆方程为＋＝1，将代入，
得c2＝1，故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，
设M(x0，y0)，则－2＜x0＜2，y＝(4－x)，
由P，A，M三点共线，得x＝，
＝(x0－2，y0)，＝，
·＝2x0－4＋＝(2－x0)＞0，
即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．
16．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·＝2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
解析　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意得解得a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.由于直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，
所以k1＞－.
又x1＋x2＝，x1x2＝，
由于·＝2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k)＝|PM|2＝.
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.
所以(1＋k)＝＝，解得k1＝±.
由于k1＞－，所以k1＝.
于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.
【点评】 解决解析几何中的探究性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,其次步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，阅历证成马上可确定正确.若推出冲突，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽视Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.