2016届高三文科数学专题复习测试23.doc

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每日一题规范练
第一周规范练
[题目1]　已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋a，且当x∈时，f(x)的最小值为2.
(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)先将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间上所有实根的和．
2016年____月____日(周一)

[题目2]　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n∈N*，n≥2)，
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log4(an＋1)2，证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
2016年____月____日(周二)

[题目3]　(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
2016年____月____日(周三)

[题目4]　如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC.
2016年____月____日(周四)

[题目5]　已知抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，M为抛物线C上一动点，A(a，0)(a≠0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记t＝＋，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．
2016年____月____日(周五)

[题目6]　设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0.
(1) 求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
2016年____月____日(周六)

第二周规范练
[题目7]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．
(1)求p的值及数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝(3＋p)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.
2016年____月____日(周一)

[题目8]　已知函数f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π处取最小值．
(1)求φ的值；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.
2016年____月____日(周二)

[题目9]　(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4，5)
2
2
[5，6)
8
3
[6，7)
7
4
[7，8]
3
(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
2016年____月____日(周三)

[题目10]　(2015·湖南高考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．
2016年____月____日(周四)

[题目11]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(2，)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，m)，求m的取值范围．
2016年____月____日(周五)

[题目12]　设函数f(x)＝ln x－ax2－bx.
(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
2016年____月____日(周六)

第三周规范练
[题目13]　在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b＝4，A＝，面积S＝2.
(1)求a的值；
(2)设f(x)＝2(cos Csin x－cos Acos x)，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到g(x)的图象，求g(x)的单调增区间．
2016年____月____日(周一)

[题目14]　从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
2016年____月____日(周二)

[题目15]　已知函数y＝3x＋的图象上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，其中数列{xn}为等差数列，满足x2＝－，x5＝
－.
(1)求点Pn的坐标；
(2)若抛物线列C1，C2，…，Cn分别以点P1，P2，…，Pn为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y轴，Cn与y轴的交点为An(0，n2＋1)，记与抛物线Cn相切于点An的直线的斜率为kn，求数列前n项的和Sn.
2016年____月____日(周三)

[题目16]　(2015·天津高考)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
2016年____月____日(周四)

[题目17]　椭圆C：＋＝1过点A，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求l的方程．
2016年____月____日(周五)

[题目18]　设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
2016年____月____日(周六)

第四周规范练
[题目19]　已知向量m＝，n＝，记f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，b＝，求sin C的值．
2016年____月____日(周一)

[题目20]　某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
2016年____月____日(周二)

[题目21]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，非常数等比数列{bn}的公比是q，且满足：a1＝2，b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝2bn－λ·3，，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．
2016年____月____日(周三)

[题目22]如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
2016年____月____日(周四)

[题目23]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>c)的短轴长为2，离心率为.过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围；
(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．
2016年____月____日(周五)

[题目24]　已知函数f(x)＝(其中k∈R，e＝2.718 28……是自然对数的底数)，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若x∈(0，1]时，f′(x)＝0都有解，求k的取值范围；
(3)若f′(1)＝0，试证明：对任意x>0，f′(x)<恒成立．
2016年____月____日(周六)

第五周规范练
[题目25]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求角B的大小；
(2)若a，b，c成等差数列，且b＝3，试求△ABC的面积．
2016年____月____日(周一)

[题目26]　数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；
(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
2016年____月____日(周二)

[题目27]　某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
2016年____月____日(周三)

[题目28]　(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
2016年____月____日(周四)

[题目29]　已知函数f(x)＝x＋－aln x.
(1)若函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，求a的值；
(2)在(1)的条件下方程f(x)＝b在区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
(3)若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
2016年____月____日(周五)

[题目30]　已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：x2－＝1的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q.
①设M(m，0)，当·为定值时，求m的值；
②设点N是椭圆E上的一点，满足ON∥PQ，记△NAP的面积为S1，△OAQ的面积为S2，求S1＋S2的取值范围．
2016年____月____日(周六)

第五部分　每日一题规范练
[题目1]　解　(1)函数f(x)＝cos 2x＋1＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1，
x∈，∴2x＋∈，f(x)min＝－1＋a＋1＝2，得a＝2，则f(x)＝2sin＋3.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋3，
根据图象变换，得g(x)＝2sin＋3.
又g(x)＝4.得sin＝.
又x∈，得－≤4x－≤π.
∴4x－＝或4x－＝.
则x＝或x＝，
故方程g(x)＝4在区间上所有实根之和为＋＝.
[题目2]　证明　(1)由an＋1＝3an－2an－1，
得an＋1－an＝2(an－an－1)，n≥2.
又a2－a1＝3－1＝2，则an－an－1≠0.
∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列．
因此an－an－1＝2·2n－2＝2n－1(n≥2)，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1，
又a1＝1适合上式．
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)，得bn＝2log4(an＋1)2＝log2(2n)2＝2n.
∵＝＝＝.
∴＋＋…＋
＝
＝<.
故对一切n∈N*，有＋＋…＋<.
[题目3]　解　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
[题目4]　证明　(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.

由于E为AD的中点，
AB＝BC＝AD，AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点．
又F为PC的中点，
因此在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.
所以四边形BCDE为平行四边形，
因此BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，
因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，
所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
[题目5]　解　(1)由题意，|OA|＝a＝，|MN|＝2＝2p，S△MON＝|OA|·|MN|＝··2p＝.
∴p2＝9，则p＝3，
则抛物线C的标准方程为y2＝6x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my＋a，
联立得y2－6my－6a＝0.
则Δ＝36m2＋24a>0，y1＋y2＝6m，y1y2＝－6a，
由对称性，不妨设m＞0，
(ⅰ)a<0时，∵y1y2＝－6a>0，∴y1，y2同号，
又t＝＋＝＋
∴t2＝＝＝
不论a取何值，t均与m有关，即a<0时A不是“稳定点”；
(ⅱ)a>0时，∵y1y2＝－6a<0，∴y1，y2异号，
又t＝＋＝＋
∴t2＝·＝·
＝·＝，
所以，当且仅当a－1＝0，即a＝时，t与m无关．
此时A为抛物线C的焦点，即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”．
[题目6]　解　(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b(x＞0)．
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，
f(x)＝aln x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－)(x－1)．
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，
＋∞)单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)＜的充要条件为f(1)＜，即－1＜，解得－－1＜a＜－1.
②若＜a＜1，则＞1，故当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.f(x)在单调递减，在单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)＜的充要条件为f＜.而f＝aln＋＋＞，所以不合题意．
③若a＞1，则f(1)＝－1＝＜成立．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
[题目7]　解　(1)由于Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋2p－(2n＋2p)＝2n.
又a1＝S1＝4＋2p，
由于数列{an}为等比数列，
∴a＝a1a3，即(4＋2p)·23＝24，
解之得p＝－1，
因此an＝a1·qn－1＝2n.
(2)由(1)知，an＝2n，an＋1＝2n＋1，
又＝(3＋p)anbn＝2anbn，则2nbn＝n，
所以bn＝.
Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋，两式相减，得
Tn＝＋＋＋…＋－
＝－，
Tn＝2－－.
[题目8]　解　(1)f(x)＝sin x(1＋cos φ)＋cos xsin φ－sin x
＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)．
因为f(x)在x＝π处取得最小值．
∴sin(π＋φ)＝－1，则sin φ＝1，又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＝cos x.
因为f(A)＝cos A＝，且A∈(0，π)，
所以A＝，又a＝1，b＝，
由正弦定理，＝，
则sin B＝＝sin＝，因为b>a，
因此B＝或B＝，
当B＝时，C＝π－(A＋B)＝π.
当B＝π时，C＝π－(A＋B)＝.
综上可知，C＝或C＝.
[题目9]　解　法一　(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
法二　(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－＝.
(2)同法一．
[题目10]　(1)证明　∵△ABC为正三角形，E为BC中点，
∴AE⊥BC，∵三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，
∴B1B⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，
∴B1B⊥AE，
∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)解　设AB中点为M，连接A1M，CM，则CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，
∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
∴∠CA1M＝45°，易知CM＝×2＝，在等腰Rt△CMA1中，A1M＝CM＝，
在Rt△A1AM中，A1A＝＝.
∴FC＝A1A＝，
又S△AEC＝××4＝，
∴V三棱锥FAEC＝××＝.
[题目11]　解　(1)设椭圆的半焦距是c，由于e＝，
∴a＝c，则b2＝a2－c2＝c2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
又椭圆C过点(2，)．
所以＋＝1，解得c2＝4.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)(ⅰ)当MN⊥x轴时，显然m＝0.
(ⅱ)当MN与x轴不垂直时，设直线MN的斜率为k，显然k≠0，
则直线MN的方程为y＝k(x＋2)，
由得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN中点Q(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，
所以x0＝－，y0＝k＝.
线段MN的垂直平分线方程为y－＝－.
在上述方程中令x＝0，得y＝.
即m＝＝－.
当k>0时，2k＋≥2，则0>m≥－；
当k<0时，2k＋≤－2，则0<m≤.
所以－≤m<0或0<m≤.
综上所述，实数m的取值范围是.
[题目12]　解　(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝b＝时，f(x)＝ln x－x2－x，
f′(x)＝－x－＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．
当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．
(2)F(x)＝ln x＋，x∈[0，3]．
由k＝F′(x0)＝≤在(0，3]上恒成立．
知a≥.
当x0＝1时，－x＋x0取最大值，
所以a的取值范围是.
(3)当a＝0，b＝－1时，f(x)＝ln x＋x，
由f(x)＝mx，得ln x＋x＝mx，又x>0，
所以m＝1＋，
要使方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，
只需m＝1＋有唯一实数解，
令g(x)＝1＋(x>0)，∴g′(x)＝，
由g′(x)>0得0<x<e；g′(x)<0，得x>e.
∴g(x)在[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，
又g(1)＝1，g(e2)＝1＋，g(e)＝1＋，
故m的取值范围是∪.
[题目13]　解　(1)在△ABC中，b＝4，A＝，S＝2，
∴S＝bcsin A＝×4c×＝2，则c＝2，
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A
＝16＋4－2×4×2cos＝12，
∴a＝＝2.
(2)由正弦定理，得＝.
∴sin C＝＝＝.
又由c<a，得0<C<A＝，∴C＝，
则f(x)＝2
＝2＝2sin，
将函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，
得函数g(x)＝2sin的图象．
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故g(x)的单调增区间为(k∈Z)．
[题目14]　解　(1)

(2)质量指标值的样本平均数为
x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0．38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
[题目15]　解　(1)设数列{xn}的公差为d，则x5－x2＝3d，
∴－－＝3d，则d＝－1，x1＝－.
故xn＝－＋(n－1)×(－1)＝－n－，
yn＝3xn＋＝－3n－.
因此点Pn的坐标为Pn.
(2)由题意，设Cn的方程为y＝a－.
将An(0，n2＋1)代入上式，整理得(a－1)＝0，
∴a＝1.∴Cn的方程为：y＝x2＋(2n＋3)x＋n2＋1.
所以y′＝2x＋2n＋3，
由导数的几何意义，kn＝y′|x＝0＝2n＋3.
因此＝＝
∴＋＋…＋
＝
＝＝.
[题目16]　(1)证明　如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

(2)证明　因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(3)解　取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，
所以A1M∥AB，A1M＝AB，
又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.
所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.
[题目17]　解　(1)∵e＝＝，
∴a＝2c，则b2＝a2－c2＝3c2，
则椭圆C的方程为＋＝1.
又椭圆C过点A，
∴＋＝1，c2＝1，c＝1，
则a＝2，b＝.椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由(1)知F1(－1，0)，①当l的倾斜角是时，l的方程为x＝－1，
交点A，B，此时S△ABF2＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠，不合题意．
②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y＝k(x＋1)，
由消去y得：(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴S△F2AB＝S△F1F2B＋S△F1F2A＝|F1F1|(|y1|＋|y2|)
＝×2|y1－y2|＝|k(x1＋1)－k(x2＋1)|
＝|k|＝|k|
＝|k|＝，
又已知S△F2AB＝，∴＝⇒17k4＋k2－18＝0⇒(k2－1)(17k2＋18)＝0⇒k2－1＝0解得k＝±1，
故直线l的方程为y＝±1(x＋1)，即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
[题目18]　解　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，x1＜x2，
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；
当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，
所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；
当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．
[题目19]　解　(1)∵m＝，
n＝.
∴f(x)＝m·n＝2cos2x－2sincos
＝1＋cos 2x－sin＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x
＝1＋cos 2x－sin 2x＝1－sin.
则f(x)的最小正周期T＝π.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)由f＝1，得1－sin＝1，即sin＝0.
又0<A<π，故A＝.
由正弦定理，得＝，
∴sin B＝＝＝.
又a>b，知B为锐角．
∴cos B＝＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
[题目20]　解　(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的频率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．
[题目21]　解　(1)由已知可得所以q2－3q＋2＝0，
解得q＝2或q＝1(舍)，从而a2＝4，
所以an＝2n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知，cn＝2bn－λ·3＝2n－3nλ.
由题意，cn＋1<cn对任意的n∈N*恒成立，
即2n＋1－3n＋1λ<2n－3nλ恒成立，亦即2λ3n>2n恒成立，
即λ>·恒成立．
由于函数y＝·在R上是减函数，
所以当n＝1时，·有最大值，且最大值为×＝.
因此λ>时，λ>·恒成立．
所以实数λ的取值范围是.
[题目22]　(1)证明　连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.

又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
又因为BC1∩AO＝O，
所以B1C⊥平面ABO.
由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)解　作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O
，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，AD∩BC＝D，
所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，
所以△CBB1为等边三角形，
又BC＝1，可得OD＝.
由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，
得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.
[题目23]　(1)解　依题意，得b＝1，e＝＝.
∴a2＝2c2＝2(a2－b2)，则a2＝2b2＝2.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)解　依题意，过点M(2，0)的直线l的斜率存在，设为k.
则直线l的方程为y＝k(x－2)．
联立消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ＝64k4－4(8k2－2)(1＋2k2)>0，
得k2<，则0≤k2<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以·＝x1x2＋y1y2.
＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2
＝＝5－.
因为0≤k2<，所以<≤7，
故·的取值范围是.
(3)证明　由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上．
直线AN：y－y1＝(x－x1)，令y＝0得：
x＝x1－＝＝
＝＝1.
所以直线AN恒过定点(1，0)．
[题目24]　(1)解　由f(x)＝，得f′(x)＝，
∴f′(1)＝－，且f(1)＝.
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y－＝－(x－1)，即x＋ey－3＝0.
(2)解　由f′(x)＝0得k＝，令F(x)＝，
∵0<x≤1，∴F′(x)＝－<0，
因此函数F(x)在区间(0，1]上是减函数．
∵F(1)＝1，且x→0时，F(x)→＋∞.
故F(x)≥1，则k的取值范围是[1，＋∞)．
(3)证明　f′(x)＝.由f′(1)＝0，得k＝1.
∴f′(x)＝，x>0.
需证f′(x)<恒成立，
只需证明1－xln x－x<(e－2＋1)．
设h(x)＝1－xln x－x(x>0)，得h′(x)＝－ln x－2.
当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)是增函数；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)是减函数．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝e－2＋1，
故1－xln x－x≤e－2＋1.
设φ(x)＝ex－(x＋1)，x>0，则φ′(x)＝ex