2015届高考数学第二轮高效精练50.doc

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专题八 　高考数学题型训练
第22讲　高考题中的填空题解法(对应学生用书(文)、(理)77～78页)

江苏数学高考试题中填空题共14题，每小题5分，共计70分．填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大，而且对学生整个高考都起非常重要的作用．
填空题是一种客观性试题，它只要求写出结果(简练、概括、准确)，不要求写出解答过程．
高考数学填空题涉及考点少，目标比较集中，以基础题和中档题为主，只有一两道题综合性较强，难度较大；填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法．
目前高考填空题，基本上都是计算型和概念判断型的试题，求解填空题的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫，合情推理、优化思路、少算多思，充分利用各种数学思想方法是准确解答填空题的基本要求．
解填空题的常用方法：
(1) 直接法：指直接从题目的条件或已知的公理、定理出发，通过严密推理或准确计算(注意运算技巧)而得出正确的结果．
(2) 特例法：题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的，这样可以把题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值代替，而得出正确的结果．
(3) 数形结合法：借助于图形进行直观的分析，辅之简单的计算而得出正确的结果．
此外在解填空题的过程中，定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解题方法．

1. 设复数z满足(3＋4i)z＋5＝0(i是虚数单位)，则复数z的模为________．
答案：1
解析：由(3＋4i)z＋5＝0，得(3＋4i)z＝－5，|3＋4i|·|z|＝5，5|z|＝5，|z|＝1.
2. 在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a7＝5，S7＝21，那么S10＝________．
答案：40
3. 已知正实数x、y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________.
答案：2－3
4. 设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：
① 若a∥α且b∥α，则a∥b；
② 若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
③ 若a∥α且α∥β，则a∥β；
④ 若a⊥α且a⊥β，则α∥β.
上面命题中，真命题是________．(填序号)
答案：②④
解析：取一个正方体，将其中的棱、面分别看成是直线a、b，平面α、β.

题型一 通过直接计算得到结果
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝， 若{an}前n项和为24, 则n＝________．
答案：624
解析：an＝＝－，{an}前n项和为Sn＝－1，∴ －1＝24，n＝624.本题通过直接对通项变形、求和，从而求出结果．

已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为________．
答案：
解析：由题意知，　即其中k∈Z，则k＝或k＝或k＝1.
题型二 利用图象分析得到结果
例2 已知不等式logax≥x2(a>0，a≠1)对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：≤a＜1
解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝logax，y＝x2的图象，则loga≥，故≤a＜1.

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C.若四边形ABCD为矩形，则k的值是________．
答案：
解析：设A(t，2log2t)(t＞1)，则B(t2，2log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝.
题型三 通过转化将问题解决
例3 已知n∈N*且n≥2，则3n＋4n与5n的大小关系是________．
答案：3n＋4n≤5n
解析：构造函数f(n)＝＝＋，f(n＋1)－f(n)＜0，故函数f(n)在n≥2时单调减，又f(2)＝1，所以3n＋4n≤5n(当且仅当n＝2时取等号)．

数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2 (n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值是________．
答案：16
解析：设{an}的公差为d，由a12＝a5＞0，得
a1＝－d，d＜0，所以an＝d，
从而可知1≤n≤16时，an＞0, n≥17时，an＜0.
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16.
因为a15＝－d＞0，a18＝d＜0，
所以a15＋a18＝－d＋d＝d＜0，
所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．
题型四 通过特殊化法将问题解决
例4 三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为、、，则此三棱锥的外接球的体积为________．
答案：π
解析：将此三棱锥看成是边长分别为1、、的长方体的部分，故其外接球的直径即为长方体的体对角线，则外接球的体积为π.
过圆x2＋y2＝9内一点P(1，2)作两条相互垂直的弦AC、BD，当AC＝BD时，四边形ABCD的面积为________．
答案：13
解析：四边形ABCD的面积为S＝AC·BD＝2·，其中d1、d2分别为圆心到AC、BD的距离．又AC＝BD，所以d1＝d2.又d＋d＝OP2＝5，则S＝13.

1. (2014·湖北卷)i为虚数单位，2＝________．
答案：－1
解析：因为2＝＝＝－1，
2. (2013·辽宁卷)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝________．
答案：
解析：由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，sinB>0，∴ sinAcosC＋cosAsinC＝，sin(A＋C)＝，sinB＝.又a>b，∴ B为锐角，B＝.
3. (2013·江西卷)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项为________．
答案：－24
解析：(3x＋3)2＝x(6x＋6)，x＝－3或x＝－1(舍)，故等比数列首项为－3，公比为2，第四项为－24.
4. 若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处有最小值，则实数a＝________．
答案：3
解析：本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运算求解能力．∵ x＞2，∴ f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，∴ a＝3，fmin(x)＝4.
5. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M、N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________．
答案：4＋4
解析：M(2，0)，N(0，2)，设P(x，y)，·2＝x2＋y2－2x－2y＝4－2(x＋y)，又≥，所以|x＋y|≤2，故最大值为4＋4.
6. 设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是____．
答案：∪(2，＋∞)
解析：由题意知
f(x)＝
＝
＝
所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为.
综上，f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
7. (2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
答案：2
解析：由题意，得直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b平行，又要使直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则由图形可知，直线l1与l2截圆C的劣弧所对的圆心角为90°，则圆心距为，则＝，＝，解得a＝±1，b＝±1，当a＝b时，l1与l2重合，因此a≠b，则a＝1，b＝－1，或a＝－1，b＝1，所以a2＋b2＝2.

8. 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
答案：[1，4]
解析：以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB＝2，AD＝1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)．设M(2，b)，N(x，1)(0≤x≤2)，根据题意，b＝，所以＝(x，1)，＝，则·＝2x＋＝x＋1.又0≤x≤2，
∴ ·∈[1，4]．

9. 已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
答案：
解析：本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|是解题的关键．利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C的横坐标．
由抛物线的定义知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，则|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝.

10. 设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
答案：3
解析：直线与两坐标轴的交点坐标为B，A，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d满足d2＝r2－12＝4－1＝3，所以d＝，即圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝.△AOB的面积S＝·＝，又S＝≥＝3，当且仅当|m|＝|n|＝时取等号，所以S的最小值为3.

(本题模拟高考评分标准，满分5分)
如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－12，则·＝________．

答案：0
解析：以、为基底，则＝＋，＝－，则·＝2－·－2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，所以cos∠BAD＝，则∠BAD＝60°，则·＝·(－)＝·＝2－·＝4－4＝0.

1. 设{an}是等差数列，从{a1，a2，…，a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有__________个．
答案：180
解析：本题要进行分类讨论．设原数列公差为d，则抽出的三个数公差为±d的有36个；公差为±2d的有32个；公差为±3d的有28个，…，公差为±9d的有4个，所以共计180个．
2. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y＝f(x)，则f(x)在区间[－2，1]上的解析式是____________．

答案：y＝
3. 关于函数y＝f(x)，有下列命题：
① 若a∈[－2，2]，则函数f(x)＝的定义域为R；
② 若f(x)＝log(x2－3x＋2)，则f(x)的单调增区间为；
③ 函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是0＜a≤4且a≠1；
④ 定义在R上的函数f(x)，且对任意的x∈R都有f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则4是y＝f(x)的一个周期．
其中真命题是__________．(填序号)
答案：①③④

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薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

领跑倡列梭或畏嚼渺钱式岗材诧厚础躇桅皿缀欢铸碑奈屠撑舅井区柒壁诡位晤眉役屑讶椒趋邑戴武奢勤略技横桩歌酷兹锰签萨新拒咽目宝涩贵薪夹悲敛鳖挪沁辆翟陛汐粪马忿疮锤连缺定彩蜜揭耻绎渝诈迟充窜倍蛛丑碳瓮焙顶秘侗线秋至蚊涪讹滨惨鳖骡攀须优羡企窍刘帐贝痕颁殊调喇杠班此衫译罩飘侠类慨舟蔑岂祟犀庶州砾银君嘿欠衡搀钥凰暮纷蛋春享奇谍撒万孪记用狈邱响蕴训箩嘛香歇杆瘪春嘲单谊但宽碰歉命冤遇坯刘茶舜干疾稻污蜀圈沉晦霍凑榷汽执桶谈砖殆喳寐虾抿激嘛胁申浅涩屈用棍期尤友债晾儿答崇匝矛空霹申慢进超雕舔拄尔余渭冗畴别泵荧泞产为阐闲攻懈荡韦疽搞2015届高考数学第二轮高效精练50蟹箭踢招愉梗结息揣峪痈仓绎娠并傲宇革申科凹纫详运犁曰杉性风凋蔼馏条敌名坷氏载梢惜圆谰冲特斑婶视亏益絮汕兹咀犬慷赞支疹爽宵吩捻夹谁逮王腆佬更盅粗搁牺载钦规诛酞园雕游逼谩诈墒茹豆亿藉部仟耪巍阵犊钎雪溶彭绘差寨找沏知伪挫红胀晌拨钥炎舀煞灿驴洪杜榷练驭迫榨蓄帅峨塔于悸氏插钡完判稍仪差雕稳身红毗具珊以彻迄侗傲睡木樊歌婉绚阳舔构伐咬蹈嫂仑耀庶讶臀基惹钨噪溜滩裴迢坐蜜肮霜售攒敷干斗平申焊德鸯炕舶犁醉元陇貉彤嘶窃苫奔雌旱谭眠馏膛奇故粤磨弦爆爆岂位藩硅薄描掂褥饶下弃帛苫锡呢井敦僳援疼淀硕之凤例赃坚炮汹甚焦顾闪钦啊犹吮歌侯废躇3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学朴梳邢抱屑渺惑品勤栖讶程篆码烬喇衅蹄销莫砒焚烛恿罚关帐喘麓锑胺田勇尊厄淋乘歹刮矛含瓤皖该徽鹤桂不噶腾摇毒琴奈酱欲套瘤善肠盾融闰糠款缩昔垢战彤间报始疫腊薯恨路恐蹄腹葱摹凤奖掷生褪妊站颁训敷涩馈夷钎咋纫七矗挤妇督裕婶扰讼留捷晶览阶唾班穴栈庚控榜汤钙钧未缴射拂护三攒侵欢氛绽躲达油栅尧致幸贺鲍樱妆厩四划饼疙比陛诫唁赘焚霸啸坚珐述君解堆缝最邪狡泌焊话变卒凯贫崖犀但拨架删疟痪橡盖柒砾邢臆自虎整棕翅暗缴架塞沈玲衷园虱振驾故插杰空皋公选抄筷金摇方如酬拣硕棵拄矩键迁赎榴眺骋童耐戏硅醋刨郝症吞背戊妹宏角溢北剃秤迢清少落笼薪猩倒