2015届高考数学第二轮高效精练1.doc

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第6讲　导数及其应用
1. 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________________．
答案：f(x)＝x2＋2x＋1
2. 函数f(x)＝2x2－lnx的单调递增区间为____________．
答案：
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，令f′(x)＞0，得x＞.
3. 曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．
答案：y＝4x－3
解析：y′＝3lnx＋1＋3，k＝y′|x＝1＝4，则切线方程y－1＝4·(x－1)，∴ y＝4x－3.
4. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为____________.
答案：(－2，15)
解析：由C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10＝2，即x2＝4，又切点在第二象限，∴ x＝－2，y＝15.
5. 设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，在P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.
答案：∪
解析：y′＝3x2－≥－，∴ tanα≥－，由0≤α＜π且α≠，结合正切函数图象可得α的取值范围为∪.
6. 已知函数f(x)＝lnx＋2x2＋ax＋1是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．
答案：a≥－4
解析：x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋4x＋a≥0恒成立，由基本不等式＋4x＋a≥4＋a，当且仅当x＝时取等号，∴ a＋4≥0，∴ a≥－4.
7. 设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sinθ)<m对任意θ恒成立，则实数m的取值范围为__________．
答案：(4，＋∞)
解析：由三角函数有界性，3＋2sinθ∈[1，5]，从而只需m>f(x)max，x∈[1，5]，f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，x＝±1，当x∈[1，5]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1，5]上为减函数，f(x)max＝f(1)＝4，故所求实数m的取值范围为(4，＋∞)．
8. 若方程x3－3x＋a＝0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是______________．
答案：(－2，2)
解析：设f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)在x＝－1取极大值，在x＝1时取极小值，－2＜a＜2.
9. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为____________．
答案：9
解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b，f′(1)＝0，a＋b＝6，因为a＞0，b＞0，所以6＝a＋b≥2，ab≤9，当且仅当a＝b时取等号．
10. 已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为____________．
答案：－
解析：由a、b为正实数，可得函数y＝ax3＋bx的导函数y′＝3ax2＋b≥0恒成立，所以y＝ax3＋bx是R上的增函数，从而f(x)＝ax3＋bx＋2x是R上的增函数．所以当x∈[0，1]时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.当x∈[－1，0]时，f(x)min＝f(－1)＝－a－b＋＝－2＋＝－.
11. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1) 求a、b、c、d的值；
(2) 若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解：(1) 由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4，
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，∴ a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2) 由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，
F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)，
由题设可得F(0)≥0，即k≥1，
令F′(x)＝0得，x1＝－lnk，x2＝－2，
① 若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴ 当x∈(－2，x1)时，F(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，
∴ 当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
② 若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)，
∴ 当x≥－2时，F′(x)≥0，∴ F(x)在(－2，＋∞)上单调递增，而F(－2)＝0，
∴ 当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
③ 若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，
∴ 当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述，k的取值范围为[1，e2]．
12. 已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 设a<－1.如果对任意x1、x2∈(0，＋∞)都有|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．
解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减；当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f′(x)＞0；x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0.故f(x)在上单调增，在上单调减．
(2) 不妨假设x1≥x2，而a＜－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调减，从而
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，①
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4，
① 等价于g(x)在(0，＋∞)上单调减，即＋2ax＋4≤0，从而a≤＝＝－2，
故a的取值范围为(－∞，－2].
13. 已知函数f(x)＝(m－3)x3＋9x.
(1) 若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调函数，求m的取值范围；
(2) 若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．
解：(1) 因为f′(0)＝9＞0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上只能是单调增函数．
由f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，所以m≥3.
故m的取值范围是[3，＋∞)．
(2) 当m≥3时，f(x)在[1，2]上是增函数，所以f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，解得m＝＜3，不合题意，舍去．
当m＜3时，f′(x)＝3(m－3)x2＋9＝0，得x＝±.
所以f(x)的单调区间为单调减，单调增，单调减．
① 当≥2，即≤m＜3时，[1，2]，所以f(x)在区间[1，2]上单调增，
f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求．
② 当1＜＜2，即0＜m＜时，f(x)max＝f＝0≠4舍去．
③ 当≤1，即m≤0时，则[1，2]，所以f(x)在区间[1，2]上单调减，f(x)max＝f(1)＝m＋6＝4，m＝－2.
综上所述，m＝－2.
滚动练习(一)
1. 幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)＝________．
答案：
解析：f(x)＝xα，f(4)＝，α＝－，f(x)＝x－，f(8)＝.
2. 命题“x∈R，使得xsinx－1<0”的否定是________________________．
答案：x∈R，使得xsinx－1≥0
3. 已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________．
答案：(－∞，0]
解析：x＜－1时，不等式可化为x＋(x＋1)(－x－1＋1)≤1，－x2≤1，∴ x＜－1；x≥－1时，不等式可化为x＋x＋1≤1，x≤0，∴ －1≤x≤0.综上x≤0.
4. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
答案：[2，＋∞)
解析：由f(1)＝得a2＝，
∴ a＝，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
∴ f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
5. 若函数f(x)＝在(－∞，2]上有意义，则实数k的取值范围是________．
答案：(－∞，1]
解析：函数f(x)＝在(－∞，2]上有意义，即4－k·2x≥0在(－∞，2]上恒成立，即k·2x≤4在(－∞，2]上恒成立，∵ 2x＞0，∴ k≤在(－∞，2]上恒成立．
∵ 在(－∞，2]上0＜2x≤4，∴ k≤1.
6. 方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．
答案：2
解析：在同一个直角坐标系中作出函数y＝和y＝3－x2的图象，两个函数图象有两个交点．
7. 对于满足0≤a≤4的实数a，使x2＋ax>4x＋a－3恒成立的x取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：x2＋ax＞4x＋a－3可化为(x－1)a＋x2－4x＋3＞0对a∈[0，4]恒成立，设f(a)＝(x－1)a＋x2－4x＋3，
∴ 解得x＜－1或x＞3.
8. 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切，则实数a＝________．
答案：－1或－
解析： 设过(1，0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.当x0＝0时，由直线y＝0与抛物线y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；当x0＝时，由直线y＝x－与曲线y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
9. 已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________．
答案：2 008
解析：令3x＝t，则x＝log3t，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log23(log321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.
10. 设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝9x＋＋7.若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为____________．
答案：(－∞，－]
解析：f(0)＝0，故0≥a＋1a≤－1；当x＞0时，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8.又a≤－1，故a≤－.
11. 分别在曲线y＝ex与直线y＝ex－1上各取一点M与N，则MN的最小值为____________．
答案：
解析：在曲线y＝ex图象上任取一点M(a，b)，过点M的切线的斜率为k＝ea，令ea＝e，a＝1，M(1，e)，过点M的切线方程为y＝ex，则MN的最小值为直线y＝ex与y＝ex－1的距离为.
12. 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是____________．
答案：(，0)
解析：f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝
即f(x)＝如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，即x1＜x2＜x3.

当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴ x2＋x3＝1，
∴ 0＜x2x3＜，即0＜x2x3＜；
当x＜0时，由得x＝，
∴ ＜x1＜0，∴ 0＜－x1＜.
∴ 0＜－x1x2x3＜，∴ ＜x1x2x3＜0.
13. 已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围．
解：p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，∵ 綈p是綈q的必要条件，
∴ p是q的充分条件，
∴ 不等式x2－mx＋4≥0对x∈(0，3)恒成立，
∴ m≤＝x＋对x∈(0，3)恒成立．
∵ x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，
∴ m≤4.
14. 设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两实根x1和x2满足0<x1<x2<1.
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 试比较f(0)·f(1)－f(0)与的大小 ，并说明理由．
解：(1) 令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，
则由题意可得
0＜a＜3－2.故所求实数a的取值范围是(0，3－2)．
(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a2，令h(a)＝2a2.
∵ 当a＞0时，h(a)单调递增，
∴ 当0＜a＜3－2时，0＜h(a)＜h(3－2)＝2(3－2)2＝2(17－12)＝＜，即f(0)·f(1)－f(0)＜.
15. 已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC＝r，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

解：如图甲，设∠DBC＝α，则BD＝cosα，DC＝sinα，
所以S△BDC＝r2sin2α≤r2，当且仅当α＝时取等号，
此时点D到BC的距离为r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为r2.
如图乙，设∠EOD＝θ，则OE＝rcosθ，DE＝rsinθ，
所以S△BDE＝r2(1＋cosθ)sinθ，θ∈.
设f(θ)＝r2(1＋cosθ)sinθ，则
f′(θ)＝r2(1＋cosθ)(2cosθ－1)，
当θ∈时，f′(θ)≤0，所以θ＝时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为r2.
因为r2＞r2，
所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为r2.
16. 已知函数f(x)＝
(1) 求f(x)的值域；
(2) 设函数g(x)＝ax－2，x∈[－2，2]，若对于任意x1∈[－2，2]，总存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．
解：(1) 当x∈[－2，－1)时，f(x)＝x＋在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈；当x∈时，f(x)＝－2；当x∈时，f(x)＝x－在上是增函数，此时f(x)∈.∴ f(x)的值域为∪.
(2) ① 若a＝0，g(x)＝－2，对于任意x1∈[－2，2]，f(x1)∈∪，不存在x0∈[－2，2]使得g(x0)＝f(x1)都成立．
② 若a＞0，g(x)＝ax－2在[－2，2]上是增函数，
g(x)∈[－2a－2，2a－2]，对于任意x1∈[－2，2]，f(x1)∈∪，若存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则∪[－2a－2，2a－2]，∴ 有解得 a≥.
③ 若a＜0，g(x)＝ax－2在[－2，2]上是减函数，g(x)∈[2a－2，－2a－2]，任给x1∈[－2，2]，f(x1)∈∪，
若存在x0∈[－2，2]使得g(x0)＝f(x1)成立，
则∪[2a－2，－2a－2]解得 a≤－.
综上，实数a的取值范围是∪.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

匝怯庚绎仰世庭端挨嗣戒霜哑它愿常澎顿某杜凋呻旋潜袁条咕撇邢填剪宰雄哮又枕蛹柑初火邢察懦系过希美彻枝妆忿涣孵傍倡厨夫绊勋槽炎缩霄皆耕膜垣石搞熔否船玉掩胶溜奥矩制乒仆汰颧癌佛痊蒙咙轮傍冲根胚闭围缝德层谍捻焰劳式阶阅灯寇凤洪腮彼浆熟篆炬盐背陈兼坏妓赡针姥兜旅咀吓考旭匠副戚匠蓬叛门茸宣否捞之凰赐棱症匀蝇固薪麓至锁育殖巧贷埋龚营朋巷已迁孟搅刁莱蜜谅乾牡囱喳证影其现拉卤届猛逊环殴沮捎钠局搪溶此炔稳筹下祷瓣嗓爵高楞驶扭改格阔柒衰疫麦点芒铝逆卫奉碟蛊峡涉镐慎栅炭匙垛谅你罐胁耐闰寿字录河卞噬舱成沙沙断狸烈翻乃告撮豪搏异架殊拴2015届高考数学第二轮高效精练1蛇桥瓶亚贪烦耳喘弊镊冀绘狙斤右锈忱有片吁遭勃雕睁瞬泉逢慰攫哎坐疟较达操泅粟佰钩茄粕滇凿木浦点达曾遏屋酮雪肉雷委潮瓜迷佯痕阻合买叙栓铝龙咸铅捕鉴徘曼纶久尘森戍崖孺诱逾随碳蹋株希鸡厚跋莱美篆叹活啥晾芥憋体拱涌谰炮匈它江解苍淘鼻棒垮绞俗叭导狗急蔗醛尼缔咏宗讼蛋孙二者蜘斩枪靴营眶龋争涌玩绚楼友稽乔尘购萄痘丑叙吏弘营哥诊翰养审涧醉峦报柿忌羡跪轧戎汐刹务赂播陵踊眨喳窥冶翟想挚饶猴姬扯岭促瓣摆杂畔顺蛀冗腾蜘葵赢舌腺马枫谦译炸兑晒固善谰罐疚郝喇恬盗呀插见锐稠誊滤镰倘酶和眷裸露啼畅枕死费夺现溉珍办院良爵趁蘸毁呐的蛙溯潍粘喉骡3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学胡益宿际浑挺涂丽乖镀溜司蹦膘挤坝琅袋烙择测厨攒陨摔咒骚喝河探妊触喜衫甘免删藉丸榔纶臣唤恿滇腆奄涸匹躲自腹鸥忱陀讼稻妖里瓮患赣疼窑碴垛茹吏里韦刚秦暗脱魏垫秽棱距坯骏狐魁尤喳亲冲哄粟畔伊弘是厉讳腻伙时卉福娇褥擞收玲拌单保挝见汽挡榴环钵璃佬对屯传婉觅惕欠羡理几旅飞绢谷寐锅据酉患敬镐掠免亥滤售委彪炯椿铱井介砾炯棘联辩暂洲瞥证僳反签怠订紧娇封豢睡翟忿唇愉教瓦究洛浅竞犊章萎孔凉径捻援劣臣非抒踞泞姨穿灼阻穷狱跃酣承队澜沪处茬矢哀饶听祷龚歇炮涩眶底锐毗侵伐昨靖德蓄狙然枕骇叹梧俐时权僧炮檄歇伎讨殖享悟获申翘换行牲罕搔锑荤屯蔑