高三数学第一轮备考知识综合检测12.doc

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(排列组合和二项式定理)

时间：120分钟　　　　分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．(2010·海淀期末)5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是
(　　)
A．54　　　　　　　　　 B．45
C．5×4×3×2 D.
解析：依题意得，不同的分法即是从5个人中选出4人来分，因此相应的方法数为C＝，选D.
答案：D
2．(x＋2)6的展开式中x3的系数为
(　　)
A．20 B．40
C．80 D．160
解析：注意到(x＋2)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·x6－r·2r＝C·2r·x6－r，令6－r＝3得r＝3.因此(x＋2)6的展开式中x3的系数是C·23＝160，选D.
答案：D
3．五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为
(　　)
A．60 B．48
C．36 D．24
解析：五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有A·A＝12种(先把除甲、乙、丙外的两个人排好，有A种方法，再把甲、乙、丙插入其中，有A种方法，因此此类方法有A·A＝12种)；另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有A·A·A＝24种方法(先把除甲、乙、丙外的两人排好，有A种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个，作为甲和乙、丙的位置，此类方法有A·A·A＝24种)．综上所述，满足题意的方法种数共有12＋24＝36，选C.
答案：C
4．某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽取4人参加一项公益活动，则不同的抽取方法有
(　　)
A．40种 B．70种
C．80种 D．240种
解析：依题意得，所选出的4人必是3名男生、1名女生，因此满足题意的抽取方法共有CC＝40种，选A.
答案：A
5．用0,1,2，…，9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是
(　　)
A．9A B．A
C．A－A D．A
解析：百位上有9种排法；其他数位上有A种排法．共有9A个三位数，故选A.如用间接法，应为A－A.
答案：A
6．(2010·河南郑州质量预测)在(x2－)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是
(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：其通项为Tr＋1＝Cx2(n－r)(－1)rx－3r＝(－1)rCx2n－5r.
∵(x2－)n的展开式中含有常数项，
∴2n－5r＝0，则n的最小值为5，选B.
答案：B
7．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
(　　)
A．288个 B．240个
C．144个 D．126个
解析：个位是0的有C·A＝96个；
个位是2的有C·A＝72个；
个位是4的有C·A＝72个；
所以共有96＋72＋72＝240个．
答案：B
8．(2009·郑州质量预测)(x3－)2＋(x＋)8的展开式中的整理后的常数项等于
(　　)
A．－38 B．38
C．－32 D．70
解析：要求展开式的常数项，即求(x＋)8的常数项，因为Tr＋1＝Cx8－r()r＝Cx8－2r，所以由题意得8－2r＝0，即r＝4，∴T5＝C＝70.
答案：D
9．(2010·东北三校一模)在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块广告牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有
(　　)
A．55种 B．56种
C．46种 D．45种
解析：C＋C＋C＋C＋C＝55.
答案：A
10．(2009·合肥质检)有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数是
(　　)
A．18 B．26
C．29 D．58
解析：若把两人都安排在前排，则有A＝6种方法，若把两人都安排在后排，则有A＝12种方法，若两人前排一个，后排一个，则有4×5×2＝40种方法，因此共有58种方法，故正确答案是D.
答案：D
11．(2010·湖北联考)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”．例如：32是“可连数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为
(　　)
A．27 B．36
C．39 D．48
解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数”，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．
当“可连数”为一位数时：有C＝3个；
当“可连数”为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有CC＝9个；
当“可连数”为三位数时：有CCC＝36个；
故共有：3＋9＋36＝48个，故选D.
答案：D
12．(2009·成都二诊)为支持地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A、B、C、D、E五个受灾地点．由于A地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B、C两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达(B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同运送顺序)，且运往这两地的物资算作一批；D、E两地可随意安排在其余两天送达．则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序的种数为
(　　)
A．72 B．18
C．36 D．24
解析：可分三步完成：第一类是安排送达物资到受灾地点A，有A种方法；第二步是在余下的3天中任选1天，安排送达物资到受灾地点B、C，有AA种方法；第三步是在余下的2天中安排送达物资到受灾地点D、E，有A种方法．由分步计数原理得不同的运送顺序共有A·(AA)·A＝24种，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．沿海某市区对口支援贫困山区教育，需从本区3所重点中学抽调5名教师分别到山区5所学校任教，每校1人；每所重点中学至少抽调1人，则共有__________种不同的支教方案．
解析：5名重点中学教师到山区5所学校有A种，而3所重点中学的抽调方法种数可由列举法一一列出为6种．故共有6A＝720种不同的支教方案．
答案：720
14．(2009·湖北宜昌模拟)一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数的个数为__________．
解析：分两类：(1)万位取1，其余不同的四个数放在不同的四个位置上时有A个：(2)万位取2或3，在余下的四个不同的位置中选两个位置放数字0与3或2时有2A个，故总共有A＋2A＝48.
答案：48
15．(2009·唐山一模)(4x2－4x＋1)5的展开式中，x2的系数为__________．(用数字作答)
解析：C·4＋C·(－4)2·1＝180.
答案：180
16．(2009·株洲质检二)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为__________．
解析：令x＝1，(1＋m)6＝a0＋a1＋…＋a6　①，
令x＝0,1＝a0　②，
①－②，得：a1＋…＋a6＝(1＋m)6－1
∴(1＋m)6－1＝63　∴(1＋m)6＝64
∴1＋m＝±2　∴m＝1或m＝－3.
答案：1或－3
三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)
17．(12分)(1)求值：C＋C；
(2)解不等式：－<.
解：利用组合数定义与公式求解．
(1)由组合数定义知：解得4≤n≤5.
∵n∈N*，∴n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5；
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
(2)由组合数公式，原不等式可化为
－<，
不等式两边约去，得(n－3)(n－4)－4(n－4)<2×5×4，即n2－11n－12<0，解得－1<n<12.
又∵n∈N*，且n≥5，∴n＝5,6,7,8,9,10,11.
18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？
解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A·A＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，不同的三位数有AAA＝8×8×6＝384个．综上，共可组成不重复的三位数48＋384＝432个．
解法2：(间接法)任取3张卡片共有C·C·C·C·A种排法，其中0在百位不能构成三位数，这样的排法有C·C·C·A种，故符合条件的三位数共有C·C·C·C·A－C·C·C·A＝432个．
19．(12分)若(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99.
解：令x－1＝t，则x＝t＋1，于是已知恒等式可变为(2t＋3)100＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a100t100，
又令f(t)＝(2t＋3)100，
则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝[f(1)－f(－1)]
＝[(2＋3)100－(－2＋3)100]＝(5100－1)．
20．(12分)平面上有n个点，无三点共线，过其中每两点作直线，这些直线中无两条直线平行，且除原n个点外无三线共点，问除平面上原有n个点之外，这些直线还会有多少个新交点？

解：(图形法)先从n个点中选4点，有C种选法．如图1，设所选点为A、B、C、D.因为在每选出的4点中，两点一组分成两组，每两点确定一条直线，两条直线相交就有符合题意的一个交点，所以A、B、C、D四点两两连线，可得3个新增交点．故符合题意的交点个数为3C＝n(n－1)(n－2)(n－3)．

图1
21．(12分)已知(－)n的展开式的各项系数之和等于(4－)5的展开式中的常数项，求：
(1)(－)n展开式的二项式系数和；
(2)(－)n的展开式中a－1项的二项式系数．
解：依题意，令a＝1，得(－)n展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，(4－)5展开式中的通项为Tr＋1＝C(4)5－r(－)r＝(－1)rC45－r5－b.
若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，
故常数项为T3＝(－1)2C·43·5－1＝27，
于是有2n＝27，得n＝7.
(1)(－)n展开式的二项式系数和为
2n＝27＝128.
(2)(－)7的通项为
T′r＋1＝C()7－r·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，
令＝－1，得r＝3，
∴所求a－1项的二项式系数为C＝35.
22．(14分)(1)求证：kC＝nC；
(2)等比数列{an}中，an>0，化简：
A＝lga1－Clga2＋Clga3－…＋(－1)nClgan＋1.
解：(1)∵左式＝k·＝
＝n·＝nC＝右式，
∴kC＝nC.
(2)由已知：an＝a1qn－1，
∴A＝lga1－C(lga1＋lgq)＋C(lga1＋2lgq)－C(lga1＋3lgq)＋…＋(－1)nC(lga1＋nlgq)
＝lga1[1－C＋C－…＋(－1)nC]－lgq[C－2C＋3C－…＋(－1)n－1C·n]＝lga1·(1－1)n－lgq[nC－nC＋nC－…＋(－1)n－1·nC]
＝0－nlgq[C－C＋C－…＋(－1)n－1·C]
＝－nlgq(1－1)n－1＝0.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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