高等数学中的参数化思想的探讨.pdf

收稿日期2 0 2 1-0 9-2 8;修改日期2 0 2 1-1 0-2 1 基金项目北京科技大学本科教育教学改革项目资助(J G 2 0 1 7M 3 9)作者简介李为东(1 9 6 8-),男,博士,讲师,从事图像处理研究.E-m a i l:l i w e i d o n g u s t b.e d u.c n第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3高等数学中的参数化思想的探讨李为东(北京科技大学 数理学院,北京1 0 0 0 8 3)摘 要参数化方法是一种研究数学问题的常见而重要的思想方法.数学方程和数学关系的参数化可以转化和扩大研究问题的角度和方式,从而更容易看到问题的本质和量之间的复杂联系.文章探讨利用参数化方法研究高等数学中的若干不易处理的极限问题、积分问题与极值问题的方法.关键词曲线方程;递推关系;参数化;积分 中图分类号O 1 7 2.2 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 9 8-0 91 引 言在数学中一些问题的解决依赖于对研究对象的刻划方式,例如没有微积分作为常备工具,很难研究连续性数学;没有矩阵与行列式作为常备工具,很难研究线性关系.很多数学问题的解决依赖于给它找到一种合适的描述方式.参数化的方法在数学研究中具有重要意义.利用参数化方法解决问题的案例不胜枚举.例如,单位圆周x2+y2=1通常可以参数化为x=c o st,y=s i nt,t 0,2 ,这种形式的参数化在数学的研究和应用中无处不在.利用通过坐标点(0,1)的直线可以将单位圆周方程x2+y2=1有理参数化为x=2t1+t2,y=1-t21+t2,-t0,其与x轴,直线x=a及x=b所围成曲边梯形的面积为baf(x)dx,这是计算面积的基本公式.实际使用当中,由于平面区域的描述方式的不同,这个公式还有一些其它变形,比如,对由参数方程表示的曲线x(t),y(t),t0tt1,上述曲边梯形的面积计算公式就变为t1t0y(t)x(t)dt,这里x(t)0.而在极坐标系中,曲线(t)与射线t=及t=围成的扇形面积是122(t)dt.自然可以把后面两个面积计算公式都看做基本公式的参数形式.参数方程具有简单清晰便于计算的特点.一个数学关系参数化的实质是找到了所要描述刻划的数学对象的另外一种刻划方式,从而拓展了刻划该数学关系的手段.参数化可以从一个新的视角观察所研究的数学对象或者数学问题,因此更容易找到问题的本质与真相,为更简单地解决问题带来一个新的思路或者完全不同的解决途径.参数化思想在高等数学的教学和学习中也是经常出现的,对于研究和解决问题有很大的帮助.本文研究某些不容易处理的极限问题、积分问题和极值问题在参数化思想下的解法,借以为教学和学习提供一个新的思路和途径.2 极限问题中的参数化思想在众多形形色色的极限问题中,由递推关系定义的数列极限问题是高等数学中常见的问题之一.这类问题常见的解决办法是首先根据递推关系式研究数列的变化规律,或者利用递推关系式找到数列通项的表达式,从而确定数列具有极限并找到极限值.但是,有一些问题简单的分析数列的性质对于求出极限是无能为力的.这类数列如果可以根据一些重要的数学关系把数列的通项参数化,有时会给问题的解决带来意想不到的好处.这里的几个例子说明利用参数化递推关系的方法可以达到深入研究数列性质的目的.例1 设数列an定义为a0=0,an+1=an+2 12,n1.求极限l i mn2n(2-an)12.解 简单的分析可以知道这个由递推关系定义的数列是严格单调递增的,并且有上界2,而且很容易计算出l i mnan=2.现在可以知道2-an是一个无穷小量,但是,问题需要研究的是序列2-an的精确的渐近 性 质.一 个 简 单 直 接 的 计 算 是2-an+1=2-an2+an+2,但 显 然 无 法 去 准 确 了 解 乘 积nk=12+ak+2 的值或者性质.问题不可避免地陷入僵局.仔细分析可以发现出现困难的原因是无法用一种“简单”的形式描述表达式an+2,或者换句话说就是没有把an+2写成一个“简单”的完全平方形式,使得无法完成开平方运算.能否通过引入新的变量把an+2写成一个简单的完全平方式,也就是能否把an+2合适的参数化成为解决问题的关键.利用简单的半角公式1+c o s2=c o s2,02,可以把序列an参数化.显然的结果是设a0=2 c o s2,a1=2=2 c o s22,然后反复使用上述半角公式可以计算得到序列an=2 c o s2n+1,n0.于是问题轻松解决l i mn2n(2-an)12=l i mn2n 2-2 c o s2n+1 12=l i mn2n+1s i n2n+2=2.例2 设数列q1=x1,qn+1=2q2n-1,n1.证明:x+1x-1 12=n=11+1qn .解 很难对一般项qn有什么实质性的了解,换一个角度也就是参数化这个数列就是一个可以认真尝试的想法.但是,这个递推关系的参数化比较困难,因为很少用到双曲函数以及双曲函数的性质.当变量tR时,可以定义其双曲正弦函数s ht、双曲余弦函数c ht、双曲正切函数t ht如下:s ht=et-e-t2,c ht=et+e-t2,t ht=et-e-tet+e-t.它们有一些类似三角函数的简单的关系,比如c h2t-s h2t=1,s h 2t=2 s htc ht,c h 2t=2 c h2t-1等等.容易看出双曲余弦函数c ht在t0时是严格单调上升的,且值域c ht1.因此,对每个x1一定有唯一的正实数t0,使得q1=x=c ht,利用等式c h 2t=2 c h2t-1可以得到q2=2q21-1=2 c h2t-1=c h 2t,依次类推.不难用数学归纳法证明,qn=c h 2n-1t.于是有n=11+1qn =l i mkk+1n=11+1qn =l i mkk+1n=1qn+1qn=l i mkx+1q12q21q22q2kqk+199第3期 李为东:高等数学中的参数化思想的探讨=l i mkx+1 2kq1qk1qk+1=l i mkx+1s ht2ks htc htc h 2k-1t1c h 2kt=x+1s htl i mks h 2ktc h 2kt=x+1s ht=x+1x-1.这里用到两个容易验证的结果l i mks h 2ktc h 2kt=1以及s h2t=c h2t-1=x2-1.例3 给定两个正数a1,a2,交替地用算术平均值与几何平均值构造数列如下a2n-1=a2n-3+a2n-22,a2n=a2n-2a2n-1,n2,求l i mnan.解 这也是一个很难从简单的代数关系得到数列性质的递推关系.借助一些三角函数恒等式可以把数列参数化,从而解决问题.情形1 a1=a2,这时数列an是一个常数列,无需讨论.情形2 a1a2,把数列an参数化,这需要如下两个三角函数恒等式c o t+c s c=c o t2,c s cc o t2=12c s c22,02.取0ta2.为了把数列an参数化,需要更多的双曲函数,定义双曲余切函数c t ht、双曲正割函数s e c ht、双曲余割函数c s c ht如下c t ht=c hts ht=et+e-tet-e-t,s e c ht=1c ht=2et+e-t,c s c ht=1s ht=2et-e-t.并且容易验证双曲余切函数与双曲余割函数满足等式c t ht+c s c ht=c t ht2,c s c htc t ht2=12c s c h2t2.由双曲 余 弦 的 性 质 可 以 看 到 存 在 唯 一 的 正 值t,使 得c ht=a1a2,进 而s ht=a21a22-1.记d=a21-a22,则a1=dc t ht,a2=dc s c ht.与情形二类似可以由上面恒等式及数学归纳法得到a2n+1=d2nc t ht2n,a2n+2=d2nc s c ht2n,n0.最后得到l i mnan=dt=a21-a22a r c c ha1/a2 =a21-a22l na1/a2+a21/a22-1 .例13都是有难度的极限问题,原因出自于从定义数列的递推关系难以研究出数列所具有的性质,或者不易由递推关系找到数列的明显表达式.这里借助三角函数、双曲函数的某些恒等式,把数列进行参数化之后,得到了数列的简单参数表达形式,使得问题迎刃而解.对于某些函数极限问题参数化的方法也是行之有效的.例4 设函数f(x,y)=x2+4x-4yy2+6y-6x.求当点(x,y)沿曲线y2+x2y-x2=0趋向于点(0,0)时,函数f(x,y)的极限.由此判断极限l i m(x,y)(0,0)f(x,y)是否存在.001大 学 数 学 第3 9卷解 令y=t x,代入曲线方程可以解出曲线的参数方程x=1-t2t,y=1-t2.简单分析可以发现点(x,y)趋向于(0,0)等价于参数t 1.在曲线y2+x2y-x2=0上,函数f(x,y)可以化简并记为(t),(t)=f1-t2t,1-t2 =1+5t-6t+t2+t3.分别令t 1,计算得到l i mt1(t)=l i mt11+5t-6t+t2+t3=-32,l i mt-1(t)=l i mt-11+5t-6t+t2+t3=-23.这个计算结果表明极限l i m(x,y)(0,0)y2+x2y-x2=0f(x,y)不存在.因此极限l i m(x,y)(0,0)f(x,y)也不存在.3 积分问题中的参数化思想在积分问题中参数化的思想更加普遍存在,甚至于渗透到基本的积分方法中.利用曲线的参数形式求某些几何图形的面积、弧长等几何量是很通常的方法,极坐标形式也可以看成是直角坐标形式的参数形式.在基本的积分方法中,换元积分法就是利用改变变量、函数、积分区域的刻划形式解决问题的最典型例证.换元法本质上也就是一种参数化的方法.参数化是解决积分问题的一个重要途径.例5 设函数y=y(x)是由方程y2y-x =x2所确定的隐函数,求不定积分dxy2.解 首先把曲线参数化,令y=t x代入方程y2y-x =x2得到x=1t2t-1 ,y=1tt-1 .在所求不定积分中作变量替换x=1t2t-1 ,则y=1tt-1 ,dx=-3t-2 dtt3t-1 2.把这组关系代入到不定积分中得到dxy2=-3-2t dt=-3t+l nt2+c=-3yx-l ny-x +c.例45的麻烦之处在于不容易从已知方程中得出变量x,y之间的简单联系,或者说把函数y(x)的显示表达式解出来,致使问题难以解决.参数化方法使得我们找到一个参数t,通过参数t变量x,y被简单的联系在一起,问题也得到顺利解决.代换y=t x的几何意义是让曲线与通过坐标原点的直线族y=t x相交(t是斜率)来考察交点坐标.例6 设函数F(x)=4x1-x ,定义函数序列F0(x)=x,Fn+1(x)=F Fn(x),n0计算定积分10Fn(x)dx.解 由于函数s i n2t在区间 0,2 上严格单调增加的变化到区间0,1,令x=s i n2t,x0,1,利用三角函数恒等式4s i n21-s i n2 =s i n22,可以看到Fs i n2 =s i n22.建立函数列Fn(x)的参数式表示如下:F0(x)=x=s i n2t,F1(x)=s i n22t,Fn(x)=s i n22nt,n0.利用变量替换x=s i n2t计算积分得到,当n1时,10Fn(x)dx=20s i n22nt2 s i ntc o stdt=201-c o s 2n+1t2s i n 2tdt=1220s i n 2t-c o s 2n+1ts i n 2t dt=14202 s i n 2t-s i n2n+1+2 t+s i n2n+1-2 t dt=12-1412n+1+1412n-1=22n-122n-1.101第3期 李为东:高等数学中的参数化思想的探讨当n=0时,简单计算得到10F0(x)dx=10 xdx=12.例6的困难之处在于从这个简单的递推关系却很难得到关于函数序列Fn(x)的有用信息.利用MA P L E软件可以简单计算出F0(x)=x,F1(x)=4x1-x ,F2(x)=1 6x1-x 1-2x 2,F3(x)=6 4x1-x 1-2x 21-8x+8x2 2,F4(x)=2 5 6x1-x 1-2x 21-8x+8x2 21-3 2x+1 6 0 x2-2 5 6x3+1 2 8x4 2,显然已经无法有信心和勇气继续计算下去了.这里利用一个简单的三角公式可以把函数序列Fn(x)用三角函数参数化,尽管这个参数化是有局限性的,但是对这个问题已经足够了.参数化后的积分计算十分简单,参数化再次显示简化问题得能力.例7 求曲线x4+y4=a x2y所围成的平面区域的面积,a0.解法1 显然y0,曲线关于纵轴对称,因此只需要研究第一象限情况即可.利用极坐标,设x=c o s,y=s i n,02.代入原曲线方程得到=ac o s2s i nc o s4+s i n4,由面积计算公式可以知道,所求面积为S=212202d=a220c o s4s i n2c o s4+s i n4 2d=a22201+c o s 2 s i n222-s i n22 2d=a240s i n212-s i n21 2d1=a2220s i n212-s i n21 2d1=a2220s i n21s i n21+2 c o s21 2d1=a220s22+s2 2ds=-a240s d2+s2 -1=a240s2+s2ds=a28 2,其中1=2,s=t a n1.解法2 依然只考虑第一象限内的情况.令y=t x,t0,代入曲线方程得到x=a t1+t4,y=a t21+t4,这时x t=a1-3t41+t4 2,y t=2at1-t4 1+t4 2,问题所求区域面积是S=2120 x(t)y(t)-x(t)y(t)dt=a20t21+t4 2dt.下面计算无穷积分0t21+t4 2dt.首先,令t=1s作倒代换,得到+0t21+t4 2dt=+0s41+s4 2ds=+0t41+t4 2dt.于是有+0t21+t4 2dt=12+0t2+t41+t4 2dt=12+01+1t22+t-1t 2 2dt=12+-ds2+s2 2=+0ds2+s2 2=12+0ds2+s2-12+0s2ds2+s2 2=12+0ds2+s2+14+0s d2+s2 -1=14+0ds2+s2=a28 2.最后,所求面积为S=a28 2.例8 求曲线x4+y4=a2x2+y2 所围成的图形的面积,a0.解法1 可 以 看 出 曲 线 在 四 个 象 限 的 情 况 相 同,故 只 考 虑 第 一 象 限 即 可.利 用 极 坐 标,设201大 学 数 学 第3 9卷x=c o s,y=s i n,02.代入原曲线方程得到2=a2c o s4+s i n4,由面积计算公式可以知道,所求面积为S=41220a2c o s4+s i n4d=2a220dc o s4+s i n4=2a2202 d2-s i n22=2a20d12-s i n21=4a220d1s i n21+2 c o s21=4a20ds2+s2=2 a2,其中1=2,s=t a n1.解法2 依然只考虑第一象限内的情况.令y=t x,t0,代入曲线方程得到x=a1+t21+t4,y=a t1+t21+t4,这时x t=-att4+2t2-1 t4+1 21+t41+t2.计算比较复杂,但是利用前面的计算结果可以得到所求区域面积是S=4a0ydx=4a20t2t4+2t2-1 t4+1 2dt=2 a2.借助极坐标方程参数化例67的曲线方程是常见的方法,另外一个可以尝试的办法是引入变换y=t x.例9 求空间曲线x-y 2=a x+y ,x2-y2=98z2,a0,上从0,0,0 到x0,y0,z0 一段的长度.解 首先把曲线参数化,令y=t x,代入条件x-y 2=a x+y 得到x=a1+t1-t 2,y=at1+t 1-t 2,代入第二个条件x2-y2=98z2得到z=2 23a1+t1-t 32.计算x,y,z对参数t的导数得到x t=a3+t1-t 3,y t=a1+3t1-t 3,z t=2 2a1+t1-t 52于是有x t2+y t2+z t2=2a23+t 21-t 6.利用弧长的计算公式有s=t00 x 2+y 2+z 2dt=t002a3+t 1-t 3dt=2at0041-t 3-11-t 2 dt=2a21-t 2t00-11-tt00 =2a21-t0 2-11-t0-1 =2a3x0y0-y20 x0-y0 2,其中t0对应于点x0,y0,z0 .4 极值问题中的参数化思想条件极值问题是多元微分学中研究的一类重要的数学问题,这类问题的一般解法是拉格朗日乘子法.对于某些特殊的条件极值问题也可以用参数化约束条件的方法解决这类问题.拉格朗日乘子法是解决这类条件极值问题的一般性方法,参数化方法有局限性,但是对于很多特殊的问题却也是简便易行的方法.参数化约束条件可以把问题化为无约束条件的一般极值问题或者减少约束条件的个数.例1 0 求星形线x23+y23=a23a0 的切线与两条坐标轴围成的三角形面积的最大值.解 首先由对称性可以看出只需要在第一象限内解决这个问题就可以了.把星形线参数化,令301第3期 李为东:高等数学中的参数化思想的探讨x=ac o s3t,y=as i n3t,0t2.对应于参数t的点x(t),y(t)处的切线斜率为k=y tx t=a3 s i n2tc o sta3 c o s2t-s i nt =-t a nt,切线方程为y-as i n3t=-t a ntx-ac o s3t .切线在x轴、y轴上的截距分别为ac o st,as i nt,因此切线与坐标轴围成三角形的面积是S=12ac o stas i nt=a24s i n 2t,由于0t2,因此当t=4时,所求三角形面积最大.例1 0是一个常见的极值问题,如果利用直角坐标系解答这个问题最终将归结为一个条件极值问题(当然这个极值问题有初等解法).这里使用曲线的参数方程解决这个问题,使得问题的描述和求解更为简洁清晰.例1 1 求函数u=x y z在条件x2+y2+z2=1,x+y+z=0下的条件极值.解 问题的几何解释是在一个空间的圆周上求函数u的极值.首先把圆周方程参数化.由第二个限制条件x+y+z=0有z=-x-y代入第一个限制条件x2+y2+z2=1得到x2+x y+y2=12,简单配方有x+y2 2+34y2=12.令x+y2=22c o st,32y=22s i nt,解出x,y并代入第二个条件可以得到限制条件即圆周的参数表示为x=22c o st-66s i nt,y=63s i nt,z=-22c o st-66s i nt,0t2.将上述参数方程代入函数u化简得u=x y z=22c o st-66s i nt 63s i nt-22c o st-66s i nt =61 84 s i n3t-3 s i nt .(1)简单计算可知函数u在s i nt=-12,即t=76,1 16时取得极大值61 8;在s i nt=12,即t=6,56时取得极小值-61 8;在s i nt=1,即t=2时函数取得最大值61 8,这是一个极大值;在s i nt=-1,即t=32时函数取得最小值-61 8,这是一个极小值.综合上述计算结果,并不难计算出相应的点x,y,z 有参数t=6时,对应点x,y,z =16,16,-26 ,此时u取得极小值-61 8;参数t=2时,对应点x,y,z =-16,26,-16 ,此时u取得极大值61 8;参数t=56时,对应点x,y,z =-26,16,16 ,此时u取得极小值-61 8;参数t=76时,对应点x,y,z =-16,-16,26 ,此时u取得极大值61 8;参数t=32时,对应点x,y,z =16,-26,16 ,此时u取得极小值-61 8;401大 学 数 学 第3 9卷参数t=1 16时,对应点x,y,z =26,-16,-16 ,此时u取得极大值61 8.如果对三倍角公式了如指掌的话,则问题的解答更加简单,因为很容易从(1)式看出u=-61 8s i n 3t,后续要做什么已经无需多言了.例1 2 在约束条件x2+y2=2,y+z=2之下,求函数u=x y+y z的条件极值.解 在第一个约束条件x2+y2=2中令x=2 c o st,y=2 s i nt,0t2,代入第二个约束条件y+z=2得到z=2-2 s i nt.代入函数u并化简得u=x y+y z=2 c o st2 s i nt+2 s i nt2-2 s i nt =s i n 2t-2 s i n2t+2 2 s i nt,其中0t2,问题转化为求这个一元函数的极值问题.计算u的导数有u t=2 c o s 2t-2 s i n 2t+2 2 c o st=2 2 c o s2t+4 +c o st .为求稳定点,这需要在区间0,2 上解三角函数方程c o s2t+4 +c o st=0.利用三角函数性质可以知道方程的解等价于求t使得3t+4=,3,5或者t+4=,这样容易解得四个稳定点值t=4,34,1 11 2,1 91 2.为判断极值情况需要u的二阶导数u t=-22 2 s i n2t+4 +s i nt ,因此可以算出下面结果.在点t=4,对应点为x,y,z =1,1,1 ,u t4 =-2 2 2 s i n34+s i n4 0,函数取得极小值u=0.在点t=1 11 2,对应点为x,y,z =-3+12,3-12,5-32 ,u t1 11 2 =-2 2 2 s i n2 51 2+s i n1 11 2 0,函数取得极小值u=-3 3+52 这里用到s i n1 2=6-24,c o s1 2=6+24.5 结 论参数化思想在高等数学中的很多领域都有很深刻的体现,这种方法不仅仅可以简单的解决很多数501第3期 李为东:高等数学中的参数化思想的探讨学问题,它可以很好的揭示数学问题和数学关系的本质,为研究问题带来很大的益处.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见和建议,同时也感谢编辑为本文付出的辛勤工作.参 考 文 献1 B I L E RP,W I T K OWS K IA.P r o b l e m s i nM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sM.N e wY o r k&B a s e l:M a r c e lD e k k e r,1 9 9 0:1 2-1 6.2 黄永忠,雷冬霞.一类变系数迭代数列的收敛性J.大学数学,2 0 2 1,3 7(3):7 8-8 3.3 韩淑霞,邵琨,吴洁.参数方程所确定函数求导的一点注记J.大学数学,2 0 1 9,3 5(6):7 4-7 8.4 苏永美.第一型线面积分的研究型教学方案探析J.大学数学,2 0 1 5,3 1(6):1 1 0-1 1 5.5 臧鸿雁,王丹龄,张志刚.数学类课程中开放性作业的研究与实践J.大学数学,2 0 2 0,3 6(2):7 0-7 6.6 朱尧辰.数学分析范例选解M.合肥:中国科学技术大学出版社,2 0 1 5:1 5 1.7 吉米多维奇.数学分析习题集M.李荣冻,李植,译.北京:高等教育出版社,2 0 1 0:2 5 9,3 1 0.D i s c u s s i o no nP a r a m e t e r i z a t i o nT h o u g h t i nH i g h e rM a t h e m a t i c sL IW e i d o n g(I n s t i t u t eo fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,U n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g yo fB e i j i n g,B e i j i n g1 0 0 0 8 3,C h i n a)A b s t r a c t:P a r a m e t e r i z a t i o nm e t h o d i s a c o mm o na n d i m p o r t a n t i d e a t o s t u d ym a t h e m a t i c a l p r o b l e m s.P a r a m e t e r i z a t i o nc a nc h a n g ea n de x p a n dt h er e s e a r c ha n g l eo f t h ep r o b l e m,s ot h a t i t i se a s i e rt os e et h ee s s e n c eo f t h ep r o b l e m.I nt h i sp a p e r,t h ep a r a m e t r i cm e t h o d i su s e dt os t u d yt h e l i m i t,i n t e g r a l a n de x t r e m ev a l u ep r o b l e m s i nh i g h e rm a t h e m a t i c s.K e yw o r d s:p a r a m e t e r;r e c u r r e n c er e l a t i o n;p a r a m e t e r i z a t i o n;i n t e g r a l601大 学 数 学 第3 9卷