2023年数学三真题答案.docx

年全国硕士硕士入学统一考试数学(三)试题及解析一、选择题：18小题,每题4分,共32分下列每题给出四个选项中,只有一种选项是符合题目规定(1)设 ，则(A). (B). (C). (D). 【答案】B 【解析】设，则则 (2)函数，则第二类间断点个数为（ ）(A).1(B).2(C).3(D).4【答案】C【解析】本题考察是第一类间断点和第二类间断点定义，鉴定间断点及类型一般环节为：1.找出无定义点（无意义点）；2.求该点左右极限；3.根据间断点定义鉴定。第二类间断点定义为至少有一种不存在，很显然不存在点为。在处，；在处， ；在处， ，；在处，；因此，第二类间断点为3个。(3) 对奇函数在上有持续导数，则( )(A). 是奇函数(B). 是偶函数(C).是奇函数(D).是偶函数【答案】：A【解析】为奇函数，则其导数 为偶函数，又为偶函数，则 ，则为偶函数，故 为偶函数，以0为下限、被积函数为偶函数变限积分函数为奇函数。因此，本题选;对于选项，为偶函数，则为偶函数，为奇函数，则 既非奇函数又非偶函数。(4).已知幂级数收敛区间为，则收敛区间为(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，则规定收敛区间，只需规定出值即可，而条件告诉我们幂级数收敛区间为，即收敛半径为4则，即因此本题选。(5)设4阶矩阵不可逆，代数余子式，为矩阵列向量组，为伴随矩阵，则通解为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（C）【解析】不可逆知，及；由知且线性无关（无关组延长组仍无关），故及，故基础解系具有3个向量。由知，列向量均为解，故通解为。(6)设为3阶矩阵，为特性值对应两个线性无关特性向量，为特性值特性向量。若存在可逆矩阵，使得，则可为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】由于为特性值对应两个线性无关特性向量，故仍为特性值两个线性无关特性向量；由于为特性值特性向量，故仍为特性值特性向量，由于特性向量和特性值排序一一对应，故只需，就有。(7) ，则恰好发生一种概率为（ ）(A).(B). (C) .(D).【答案】（D）【解析】又， (8) .若二维随机变量服从，则下列服从原则正态分布且和独立是（ ）(A). (B). (C). (D). 【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知，因此，因此和独立二、填空题：914小题,每题4分,共24分 (9)，则_.【答案】【解析】，将带入可知，(10)已知曲线满足，求曲线在点处切线方程【答案】【解析】在两侧同步对求导有，将带入可知，因此切线方程为(11)设产量为，单价为,厂商成本函数为，需求函数为，求厂商获得最大利润时产量【答案】【解析】由可知，则利润函数为， ，令可得，此时，故获得最大利润(12)设平面区域，则求绕轴旋转所成旋转体体积【答案】【解析】由题意列式得 (13)行列式【答案】.【解析】(14) 随机变量分布律为为被3除余数，则 解析三、解答题：1523小题,共94分解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节(15)(本题满分10分) 设为常数，且当时，和为等价无穷小，求值.【解析】 ，由于，则，且式，得.(16)(本题满分10分) 求函数极值. 【解析】，解得，.且，.讨论：对于，求得，因，则不为极值点； 对于，求得，因且，则为极小值点，且极小值为. (17)(本题满分10分)设函数满足，且有.（）求； （）设，求.【解析】（）由得，解得，则，又由得，则.（） ，则.(18)(本题满分10分) 设区域，计算.【解析】设，则，两边同取积分得 .则，.(19)(本题满分10分) 设函数在上具有持续导数.,.证:(1)存在使 (2)若对任意,则.证明:(1)时,则,显然成立.时,不妨设在点处获得最大值.由拉格朗日中值定理得,存在,使得;存在,使得;因此,即介于和之间,从而有或,结论得证.（）当时,采用反证法,假设.则或,和已知矛盾,假设不成立.当时,此时,易知.设,;则有,从而单调递减.又,从而,即,.因此,从而.综上所述,最终 (20)(本题满分11分)二次型经正交变换化为二次型，。求：（I）值；（II）正交矩阵【答案】（I）；（II）.【解析】（I）记，故。由于，故，因此，其中为正交矩阵。因此相似，故特性值相似，故知，故。（II）由，知特性值均为。解齐次线性方程组及，求特性向量并直接单位化，对，由知，；对，由知，；同理，属于特性值特性向量为，属于特性值特性向量为.记，就有，因此，只需令，则，二次型经正交变换化为。(21)(本题满分11分)设为2阶矩阵，是非零向量且不是特性向量。（I）证明矩阵可逆；（II）若，求并鉴定与否相似于对角矩阵。【解析】（I）设 若，则由知； 若，则，因此是属于特性值特性向量，和已知条件产生矛盾。因此，向量组线性无关，故矩阵可逆。（II）由于，因此，记，因此，即，由可逆知相似且。由知，矩阵特性值均为，由于特性值互不相似，故矩阵相似于对角矩阵。(22)(本题满分11分)二维随机变量在区域上服从均匀分布，且求（1）二维随机变量概率分布；（2）求有关系数.【解析】（1） 由题意，因此可计算可得 01010（2） 由（1）可计算,因此可得(23)(本题满分11分)设某元件使用寿命分布函数为，其中为参数且均不小于零.（1）计算概率和；（2）任取个元件试验，其寿命分别为，若已知，求得最大似然估计.【解析】（1）（2）由题意可得概率密度函数为似然函数取对数有求导并令导数等于零，解得.