2023年数学三真题答案.docx

年全国硕士硕士入学统一考试
数学(三)试题及解析
一、选择题：1～8小题,每题4分,共32分．下列每题给出四个选项中,只有一种选项是符合题目规定．
(1)设 ，则
(A).
(B).
(C).
(D).
【答案】B
【解析】

设，则
则

(2)函数，则第二类间断点个数为（ ）
(A).1
(B).2
(C).3
(D).4
【答案】C
【解析】本题考察是第一类间断点和第二类间断点定义，鉴定间断点及类型一般环节为：
1.找出无定义点（无意义点）；2.求该点左右极限；3.根据间断点定义鉴定。
第二类间断点定义为至少有一种不存在，很显然不存在点为。
在处，；
在处， ；
在处， ，，，；
在处，，；
因此，第二类间断点为3个。
(3) 对奇函数在上有持续导数，则( )
(A). 是奇函数
(B). 是偶函数
(C).是奇函数
(D).是偶函数
【答案】：A
【解析】为奇函数，则其导数 为偶函数，又为偶函数，则 ，则为偶函数，故 为偶函数，以0为下限、被积函数为偶函数变限积分函数为奇函数。因此，本题选;对于选项，为偶函数，则为偶函数，为奇函数，则 既非奇函数又非偶函数。
(4).已知幂级数收敛区间为，则收敛区间为
(A).(-2,6)
(B).(-3,1)
(C).(-5,3)
(D).(-17,15)
【答案】
【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，
则规定收敛区间，只需规定出值即可，
而条件告诉我们幂级数收敛区间为，即收敛半径为4

则，即
因此本题选。
(5)设4阶矩阵不可逆，代数余子式，为矩阵列向量组，为伴随矩阵，则通解为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【解析】不可逆知，及；由知且线性无关（无关组延长组仍无关），故及，故基础解系具有3个向量。由知，列向量均为解，故通解为。

(6)设为3阶矩阵，为特性值对应两个线性无关特性向量，为特性值特性向量。若存在可逆矩阵，使得，则可为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【解析】由于为特性值对应两个线性无关特性向量，故仍为特性值两个线性无关特性向量；由于为特性值特性向量，故仍为特性值特性向量，由于特性向量和特性值排序一一对应，故只需，就有。
(7) ，则恰好发生一种概率为（ ）
(A).
(B).
(C) .
(D).
【答案】（D）
【解析】

又，

(8) .若二维随机变量服从，则下列服从原则正态分布且和独立是（ ）
(A).
(B).
(C).
(D).
【答案】（C）
【解析】
由二维正态分布可知，，
，
因此，

因此和独立
二、填空题：9～14小题,每题4分,共24分．
(9)，则_______.
【答案】
【解析】，将带入可知，
(10)已知曲线满足，求曲线在点处切线方程
【答案】
【解析】在两侧同步对求导有，将带入可知，因此切线方程为
(11)设产量为，单价为,厂商成本函数为，需求函数为，求厂商获得最大利润时产量
【答案】
【解析】由可知，则利润函数为
， ，令可得，，此时，故获得最大利润
(12)设平面区域，则求绕轴旋转所成旋转体体积
【答案】
【解析】由题意列式得
(13)行列式
【答案】.
【解析】

(14) 随机变量分布律为为被3除余数，则
解析

三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节．
(15)(本题满分10分) 设为常数，且当时，和为等价无穷小，求值.
【解析】
①，
由于，则，且①式，得.
(16)(本题满分10分) 求函数极值.
【解析】，解得，.
且，，.
讨论：①对于，求得，因，则不为极值点；
②对于，求得，因且，则为极小值点，且极小值为.
(17)(本题满分10分)
设函数满足，且有.
（Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求.
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
则，又由得，
则.
（Ⅱ）

，
则.

(18)(本题满分10分) 设区域，，
计算.
【解析】设，则，
两边同取积分得

.
则，

.

(19)(本题满分10分) 设函数在上具有持续导数.,.
证:(1)存在使
(2)若对任意,,则.
证明:(1)时,则,显然成立.
时,不妨设在点处获得最大值.
由拉格朗日中值定理得,存在,使得;
存在,使得;
因此,即介于和之间,从而有
或,
结论得证.
（Ⅱ）当时,采用反证法,假设.
则或,和已知矛盾,假设不成立.
当时,此时,易知.
设,;则有,从而单调递减.
又,从而,即,.
因此,从而.
综上所述,最终

(20)(本题满分11分)二次型经正交变换化为二次型，。求：
（I）值；
（II）正交矩阵
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）记，故。
由于，故，因此，其中为正交矩阵。
因此相似，故特性值相似，故知，，故。
（II）由，知特性值均为。
解齐次线性方程组及，求特性向量并直接单位化，
对，由知，；
对，由知，；
同理，属于特性值特性向量为，
属于特性值特性向量为.
记，，就有
，
因此，只需令
，
则，二次型经正交变换化为。

(21)(本题满分11分)
设为2阶矩阵，，是非零向量且不是特性向量。
（I）证明矩阵可逆；
（II）若，求并鉴定与否相似于对角矩阵。
【解析】（I）设
① 若，则由知；
② 若，则，因此是属于特性值特性向量，和已知条件产生矛盾。
因此，，向量组线性无关，故矩阵可逆。
（II）由于，因此，
，
记，因此，
，
即，由可逆知相似且。
由知，矩阵特性值均为，
由于特性值互不相似，故矩阵相似于对角矩阵。

(22)(本题满分11分)
二维随机变量在区域上服从均匀分布，且

求（1）二维随机变量概率分布；（2）求有关系数.
【解析】
（1） 由题意，因此可计算

可得

0
1
0

1
0

（2） 由（1）可计算,,,,
因此可得
(23)(本题满分11分)
设某元件使用寿命分布函数为
，其中为参数且均不小于零.
（1）计算概率和；
（2）任取个元件试验，其寿命分别为，若已知，求得最大似然估计.
【解析】
（1）

（2）由题意可得概率密度函数为
似然函数
取对数有
求导并令导数等于零，
解得.