资源描述
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析：选C.依据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.
2．(2021·海南三亚模拟)在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第( )
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
解析：选C.由于a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，得n＝26.故选C.
3．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )
A．5 B.
C. D.
解析：选B.∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11×＋10×2＝.故选B.
4．(2021·吉林一般中学摸底)已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
解析：选B.数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4.
5．(2021·云南昆明一中开学考试)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( )
A．a100＝－1，S100＝5 B．a100＝－3，S100＝5
C．a100＝－3，S100＝2 D．a100＝－1，S100＝2
解析：选A.由于数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，所以a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，a8＝3，…，
由此可知数列中各项满足an＋6＝an，且an＋an＋1＋…＋an＋6＝0.故a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5.
6．在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝(舍去)．
∴a10＝0.08.
答案：10
7．已知数列{an}满足as·t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________．
解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.
答案：8
8．在一个数列中，假如∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积，已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．
解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
9．已知an＝an－1＋(n≥2)，a1＝1.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)由(1)中前5项推想数列的通项公式并证明．
解：(1)a1＝1，a2＝a1＋＝，
a3＝a2＋＝，a4＝a3＋＝，a5＝a4＋＝.
(2)猜想an＝.证明如下：
由已知得a2－a1＝，
a3－a2＝，
…
an－an－1＝，
所以an－a1＝＋＋…＋.
从而an＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)
＝2n＋1－2n＝2n.
由于a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．
(2)由于bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
1．跳格玩耍：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )
A．8 B．13
C．21 D．34
解析：选C.设跳到第n个格子的方法种数为an，则到达第n个格子的方法有两类：①向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an－1；
②向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an－2，则an＝an－1＋an－2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21.
∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.
2．(2021·浙江金丽衢十二校联考)已知函数y＝f(x)，数列{an}的通项公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增，则数列{an}是递增数列确定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{an}是递增数列，则函数在[1，2]上可以先减后增，只要在x＝1处的函数值比在x＝2处的函数值小即可．故“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件．
3．(2021·大连双基测试)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1，得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n.
答案：3n
4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．
解析：从题图中可观看星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：an＝
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．
解：由于Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n.
当n＝1时，－1＝＝a1，
所以an＝－n.
6．(选做题)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)推断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝－＝<0，
∴{cn}是递减数列．
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